Tschebyshevsche Ungleichung. Wir betrachten ein mit Gas gefülltes Gefäß

Question

Wir betrachten ein mit Gas gefülltes Gefäß, welches n = 25 · 10²¹ Moleküle beinhaltet. Die Bewegung der Gas-Moleküle ist zufällig. Daher wird jedes Gas-Molekül mit
einer Wahrscheinlichkeit von 1/2
in der linken bzw. rechten Hälfte sein, unabhängig von den anderen
Molekülen. Schätzen Sie mittels der Tschebyshevschen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit ab, dass
der Anteil der Moleküle in der linken Hälfte um 10⁻¹⁰/2
größer ist als in der rechten Hälfte.

Könnte mir hier bitte einer helfen?

Comments

Tschebyshevschen Ungleichung

Wie hiess dieser Herr eigentlich? Wie viele sch bzw. sh?

Und: Mit diesem Hinweis kannst du doch bestimmt schon mal einen Ansatz notieren. Oder?

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Wahrscheinlich meinst Du \( \frac{10^{10}}{2} \) und nicht \( \frac{10^{-10}}{2} \)?

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Das wäre ja ein wahrlich hoher Anteil.

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Es soll tatsächlich 10^-10/2 heißen.

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Ist das die Originalfrage. Liegt sie dir auf Deutsch vor?

Wie ist Anteil gemeint? https://www.duden.de/rechtschreibung/Anteil 1 a) , b) oder 2 im Link?

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Ich habe diese Aufgabe ebenfalls rechnen dürfen und Anteil so interpretiert, dass \(\displaystyle25\cdot10^{21}\cdot\frac{10^{-10}}2\) Teilchen in der linken Seite mehr sein sollen, als in der rechten.
Die Lösung der Aufgabe kann ich am Donnerstag schreiben, wenn ich meine korrigierte Rechnung erhalte. (Mein Ergebnis war 1,6%.)

Answer 1

Die Moleküle sind binomial im Gefäß verteilt.

Gesucht ist die Abschätzung \(\displaystyle\mathbb{P}\left(|X-\mathbb{E}X|>b\right)\leq\frac{V(X)}{b^2}\).

Sei \(\displaystyle X\sim\text{Bin}\left(25\cdot10^{21},\frac12\right)\) Zufallsvariable für die Anzahl der Moleküle in der linken Gefäßhälfte.

Es gilt \(\displaystyle\mathbb{E}X=np=\frac{25}2\cdot10^{21}\) und \(\displaystyle V(X)=np(1-p)=\frac{25}4\cdot10^{21}\).

Dass der Anteil der Moleküle in der linken Häflte um den Anteil \(\displaystyle\frac{10^{-10}}2\) größer ist als in der rechten, muss der Anteil von \(\displaystyle\frac{10^{-10}}4\) zusätzlich in der linken Seite sein.

Somit ist \(\displaystyle b=25\cdot10^{21}\cdot\frac{10^{-10}}4=\frac{25}4\cdot10^{11}\).

Damit in obige Formel eingesetzt

\(\displaystyle\mathbb{P}\left(|X-\frac{25}2\cdot10^{21}|>\frac{25}4\cdot10^{11}\right)\leq\frac{25}4\cdot10^{21}\cdot\frac1{\left(\frac{25}4\cdot10^{11}\right)^2}=\frac{40}{25}=1,6\%\)