Untersuche \(f_{n+1}-f_n\). Zu zeigen ist, dass diese Differenz nicht negativ ist.
$$ f_{n+1}(x) = f_n(x) + \frac{1}{2} (x- ( f_n(x))^2 )\qquad |-f_n(x) $$
$$ f_{n+1}(x) - f_n(x) = \frac{1}{2} (x- ( f_n(x))^2 ) $$
Jetzt muss noch mit vollständiger Induktion gezeigt werden, dass der Term größer oder gleich Null ist.
Induktionsanfang:
\(f_0(x)=0\)
\(f_1(x)=\frac{1}{2} x\ge 0\), da \(x\in [ 0;1]\)
\(f_2(x)=0,5x+0,5( x-(0,5x^2))=x-0,125x^2=x(1-0,125x)\ge 0\)
Induktionsschritt:
\(\frac{1}{2} (x- ( f_n(x))^2 )\ge 0\) gelte für n.
Zu zeigen: Dann gilt es auch für n+1.
\(\frac{1}{2} (x- ( f_{n+1}(x))^2 )\)
...
PS: Vielleicht gibt es auch einen einfacheren Weg.
