Wie kann ich diese Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen? Sei (f_n)n≥1 eine Funktionenfolge, fn:[0,∞) →R

Question

Aufgabe:

Sei \(({ f }_{ n }){ }_{ n≥1 }\) eine Funktionenfolge, \({ f }_{ n } : [0,∞) → ℝ\), die gleichmäßig gegen eine Funktion \(f\) konvergiert, dann konvergiert die Funktionenfolge \(({ f }_{ n }^{ 2 })_{n≥1}\) gleichmäßig gegen \({f}^{2}\).

Wie soll ich diese Aussage verstehen und wie gehe ich dabei vor?

Answer 1

Also ,dass das gegen f^2 konvergiert ist wohl nicht die Frage, sondern ob es auch gleichmäßig konvergiert.

Wenn eine Folge fn gegen f konvergiert , dann konvergiert fn^2 = fn*fn gegen f*f = f^2.

Sollst du denn die Aussage widerlegen? Oder lautet die Aufgabe: Beweise oder widerlege.

Ich glaube auch, dass die Komposition aus gleichmäßig stetigen Funktion auch wieder gleichmäßig stetig ist. Damit wären beide Dinge ,die zu zeigen wären gezeigt. Also ich glaube die Aussage ist wahr.

Comments

Das ist ja mein Problem, ich soll die Aussage widerlegen. :/

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fn(x)=x+1n, f(x)=x, fn→f gleichmäßig - offensichtlich.

Aber ∣fn(x)2−f(x)2∣=2xn+1n2 und da für jedes n ein x aus [0,∞) existiert mit 2xn>1, konvergiert fn2(x)

nicht gleichmäßig zu f(x)2.

Hab jetzt das als Gegenbeispiel, hoffe es ist richtig :/