Question

Ist eine Funktionenfolge dann Punktweise Konvergent, wenn für jedes x im Definitionsbereich nur ein Grenzwert existiert oder dürfen es auch verschiedene Grenzwerte sein?

Wenn zweiteres Gilt, welche Grenzfunktion nimmt man dann zur bestimmung ob die Funktionenfolge gleichmäßig Konvergent ist?

Answer 1

Ist eine Funktionenfolge dann Punktweise Konvergent, wenn für jedes x im Definitionsbereich nur ein Grenzwert existiert oder dürfen es auch verschiedene Grenzwerte sein?

Das würde bedeuten, dass die Grenzfunktion konstant ist. Das muss aber nicht der Fall sein. Wieso sollte die Grenzfunktion an jedem Argument \(x\) den gleichen Wert annehmen?

Wenn zweiteres Gilt, welche Grenzfunktion nimmt man dann zur bestimmung ob die Funktionenfolge gleichmäßig Konvergent ist?

Die Grenzfunktion, gegen die eine Funktionenfolge konvergiert, ist eindeutig. Es kann also keine zwei Grenzfunktionen geben, zwischen denen man sich entscheiden müsste und das hat vor allem gar nichts damit zu tun, ob die Grenzfunktion konstant ist oder nicht.

Comments

Zum Zweiten Teil, was setze ich dann aber bei der Prüfung der Gleichmäßigen Konvergenz ein?

Die Formel lautet ja : |f_n(x) - f(x)| = 0. Und wenn man das Beispiel von x^n auf [0,1] betrachtet existieren 2 Grenzwerte. Die 0 für alle x ungleich 1 und die 1. Setzt man dann die 0 oder die 1 als f(x) ein?

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In dem Fall kannst du doch eine Fallunterscheidung machen: \(x=1\) und \(x\neq 1\).

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Achso. Dankeschön :)

Answer 2

Hallo.

Eine Funktionenfolge kann auch in unterschiedlichen Argumenten gegen unterschiedliche Werte punktweise konvergieren.  Betrachte das Beispiel f_n(x):= x^n auf [0,1] definiert. Diese Funktionenfolge konvergiert für x < 1 gegen die Nullfunktion und für x = 1 ist ja f_n(x) = 1 und es konvergiert für dieses x dann auch gegen 1. Der Grenzwert ist also die Funktion f: [0,1] —> R mit

f(x) = {0 für x ≠ 1, 1 für x = 1.

Was genau meinst du mit dem zweiten?

Comments

Die Voraussetzung für gleichmäßige Konvergenz ist, dass die Funktionenfolge punktweise Konvergiert.

Um aber nun zu bestimmen ob die Funktionenfolge gleichmäßg Konvergiert muss man schauen ob |f_n(x) - f(x)| = 0 gilt. Wobei f(x) ja die Grenzfunktion ist, die man bei der punktweisen Konvergenz bestimmt hat. Was setzte ich aber ein, wenn es mehrere Grenzwerte wie bei x^n auf [0,1] gibt?

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Nein |f_n(x) - f(x)| = 0 ist nicht die Bedingung. Die Definition lautet:

Eine Funktionenfolge (f_n) von Funktionen f_n : [a,b] -> R  konvergiert gleichmässig gegen eine Funktion f, falls gilt

lim sup{|f_n(x)- f(x)| : x ∈ [a,b]} = 0. Hierbei ist sup{|f_n(x)- f(x)| : x ∈ [a,b]} der grösste Abstand der Funktionenfolge zu ihrem gleichmäßigem Grenzwert bei den Argumenten.

Bei einer Funktionenfolge wie x^n, kannst du einfach die x Werte seperat einsetzen und einzeln untersuchen.

Z.B. für x < 1 gilt für die Funktionenfolge f_n(x) = x^n also lim f_n(x) = 0. Also ist für x < 1 die Nullfunktion der punktweise Limes von f_n(x) = x^n. Damit f_n für diese x auch gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert muss lim sup{f_n(x)-0 : x<1} = 0 gelten. Jedoch ist sup{f_n(x) : x<1} = 1^n = 1 und damit also lim sup{f_n(x)-0 : x<1} = 1 ≠ 0. Also konvergiert f_n(x) = x^n für x<1 nicht gleichmäßig, also auch nicht für alle x aus [0,1]. Du kannst also die x-Werte seperat betrachten.