Aufgabe:
(a) Folge fk konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig.
(b) Ist a > 1 so konvergiert fk gleichmäßig auf [a, ∞[ .
$$ k \in N \\ { f }_{ k } [0, \infty [ \rightarrow R\\ { f }_{ k }(x)\quad :=\quad \frac { { x }^{ k } -1 }{ { x }^{ k } + 1 }$$
Hier was ich dazu gedacht habe. Muss ich die Unstetigkeit der Grenzfunktion nochmal extra beweisen? Und was sind die Fehler?
Grenzfunktion:
$$ f\quad :\quad x\quad \rightarrow \quad { \begin{pmatrix} -1\quad ,\quad \quad \quad falls\quad x\quad \in \quad [0,\quad 1) \\ 0\quad ,\quad \quad \quad \quad \quad \quad falls\quad x\quad =\quad 1 \\ 1\quad ,\quad falls\quad x\quad \in \quad (1\quad ,\quad \infty ) \end{pmatrix} }$$
$$\\ für\quad x\quad \in \quad [0,\quad 1)\quad ist:\quad \\ \frac { { x }^{ k }\quad -\quad 1 }{ { x }^{ k }\quad +\quad 1 } \quad \overset { k\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } \quad \quad -1\\ \\ für\quad x\quad =\quad 1\quad ist:\\ \\ \frac { { x }^{ k }\quad -\quad 1 }{ { x }^{ k }\quad +\quad 1 } \quad \longrightarrow \quad 0\\ \\ für\quad x\quad \in \quad (1\quad ,\quad \infty )\quad ist:\\ \\ \frac { { x }^{ k }\quad -\quad 1 }{ { x }^{ k }\quad +\quad 1 } \quad =\quad \frac { { x }^{ k }\quad \left( 1\quad -\quad \frac { 1 }{ { x }^{ k } } \right) }{ { x }^{ k }\quad \left( 1\quad +\quad \frac { 1 }{ { x }^{ k } } \right) } \quad \overset { k\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } \quad 1 $$
Da die Grenzfunktion nicht stetig ist konvergiert fk nur punktweise.
$$ Ist\quad jedoch\quad \alpha > 1\quad und\quad gilt\quad [\alpha , \infty [ \rightarrow R\\ \\ ist\quad die\quad Grenzfunktion\\ \\ f\quad :\quad x\quad \rightarrow \quad \left\{ 1\quad ,\quad falls\quad x\quad \in \quad [\alpha \quad ,\quad \infty [ \right\} \\ \\ und\quad es\quad gilt:\\ \\ \forall \epsilon > 0 \quad \forall x \in (\alpha \quad ,\quad \infty )\quad \exists { k }_{ 0 } \in N\quad \forall k \ge { k }_{ 0 } :\\ \left| { f }_{ k } - f(x) \right| = \left| { f }_{ k } -1 \right| \le \quad \epsilon $$
$$ { f }_{ k }\quad ist\quad streng\quad monoton\quad steigend\quad mit\quad { f }_{ k } (x) \ge { f }_{ k } (\alpha ) \\ für\quad alle\quad x \ge \alpha \quad ist:\quad { f }_{ k } (x) \overset { x \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } 1 \\ und\quad { f }_{ k } (x) \overset { k \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } \quad 1.\\ \\$$
$$So\quad dass\quad hier\quad { k }_{ 0 }\quad nicht\quad von\quad x\quad abhängig\quad ist.\\ Daraus\quad folgt\quad die\quad gleichmäßige\quad Konvergenz\quad auf\quad [\alpha \quad ,\quad \infty [\quad \\ mit\quad \alpha > 1.\\ $$
