Ist die gegebene Funktionenfolge gleichmäßig konvergent?

Question

Aufgabe:

f_n(x)=\( \sqrt{(1/\sqrt{n}) +x^2} \) mit x∈ℝ

Ich will überprüfen, ob die gegebene Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits:

f(x)=\( \lim\limits_{n\to\infty} \) f_n(x) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt{(1/\sqrt{n}) +x^2} \) = \( \sqrt{x^2} \) = |x|

Die Folge müsste also stetig auf ℝ sein.

Für die gleichmäßige Konvergenz müsste ich dann folgendes überprüfen (oder)?

 \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup_x∈R |f_n(x)−f(x)|=0

|fn(x)−f(x)| = |\( \sqrt{(1/\sqrt{n}) +x^2} \) - |x|| = |\( \sqrt{\sqrt{n}x^2+1/\sqrt{n} } \) - |x|| =|\( \sqrt{x^2+1} \)-|x||

Wie komm ich aber mit der Abschätzung nicht mehr weiter (bzw. stimmt das überhaupt soweit?)

Answer 1

Aloha :)

Du vermutest, dass die Funktionenfolge$$f_n(x)=\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}\quad;\quad x\in\mathbb R$$gegen die Funktion \(f(x)=|x|\) konvergiert.

Wir prüfen das nach und wählen ein \(\varepsilon>0\) beliebig aber fest:$$\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}-|x|\right|=\left|\frac{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}-|x|\right)\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}+|x|\right)}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}+|x|\right)}\right|$$$$\phantom{\left|f_n(x)-f(x)\right|}=\left|\frac{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}\right)^2-|x|^2}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}+|x|\right)}\right|=\left|\frac{\frac{1}{\sqrt n}+x^2-x^2}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}+|x|\right)}\right|=\frac{1}{\sqrt n\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}+x^2}+|x|\right)}$$$$\phantom{\left|f_n(x)-f(x)\right|}\le\frac{1}{\sqrt n\cdot\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{n}{\sqrt n}}}=\frac{1}{\sqrt{\sqrt n}}=\frac{1}{\sqrt[4]{n}}<\varepsilon\quad\text{für }n>\frac{1}{\varepsilon^4}$$

Für jedes beliebige \(\varepsilon>0\) gilt also:$$\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon\quad\text{für alle }n\in\mathbb N\quad\text{ mit }n\ge n_0\coloneqq\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^4}\right\rceil+1$$Da \(n_0\) nicht von dem Punkt \(x\) abhängt, konvergiert \(f_n(x)\) gleichmäßig gegen \(|x|\).