Lösungsmenge eines Gleichungssystems bestimmen und zeigen, ob Spalten eine Basis bilden

Question

Aufgabe:

Sei A = \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ^3x3 

a) Bilden die Spalten von A eine Basis von ℝ³?

b) Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

A *  \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \) bestimmen

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, komme jedoch nicht auf ein richtiges Ergebnis.

Ich weiß, dass man die Matrix erstmal in eine reduzierte Zeilenstufenform bringen muss, aber da habe ich schon ein paar Schwierigkeiten.

Beim ersten Schritt habe ich die 1. Zeile mal 2 genommen und dann von der 3. Zeile abgezogen.  Dann erhalte ich:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \)

Dann ziehe ich die 2. von der 3. Zeile ab und kann die 3. Zeile weglassen und erhalte:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \)

Dann wäre ich auch fast fertig, müsste aber noch die 1 über der -1 zu einer 0 machen, damit es dann die reduzierte Zeilenstufenform ergibt, aber da habe ich dann das Problem, dass ich nicht weiß wie ich das genau machen kann?

Könnte ich einfach -1 von der 1. Zeile abziehen, damit ich dann \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \) erhalte? Oder kann man das so nicht machen?

Wie würde das Ergebnis richtig aussehen?

Bei der b weiß ich dann leider gar nicht wie ich da weitermachen muss, könnte mir das vielleicht jemand bitte erklären?

Vielen lieben Dank im Voraus :)

Answer 1

Könnte ich einfach -1 von der 1. Zeile abziehen

Nein.

Addiere zu der ersten Zeile die zweite Zeile.

Erlaubte Zeilenumformungen sind im Wesentlichen

• Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl \(\neq 0\),
• Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
  

Comments

Addiere zu der ersten Zeile die zweite Zeile.

Ohh daran hab ich gar nicht gedacht, vielen Dank!

Also würde es dann so  \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \) aussehen?

Wenn ja, wie bilde ich davon jetzt die Lösungsmenge?

Müsste ich die obere Matrix erstmal als \( \begin{pmatrix} x_1 & 0 &- 2x_3 \\ 0 & - x_2 & +3x_3 \end{pmatrix} \) darstellen und daraus die Lösungsmenge L = { \( \begin{pmatrix} 2x_3 \\ 3x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} \) | x₃ ∈ ℝ} = ⟨ \( \begin{pmatrix}  2  \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)⟩ herleiten?

Ich hatte nämlich eine ähnliche Aufgabe, die so gelöst wurde, nur verstehe ich nicht wie genau das funktioniert.

Dann haben wir bei der anderen Aufgabe das am Ende so ungefähr dargestellt:

2 *  \( \begin{pmatrix}  2  \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \) + 3 * \( \begin{pmatrix}  1  \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) +  \( \begin{pmatrix}  -1  \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Ist \( \begin{pmatrix}  6  \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \) davon die Lösung, wenn ich nicht falsch gerechnet habe? Wenn ja, was sagt das aus? Woher weiß ich, ob die Spalten eine Basis bilden?

Sorry für die vielen Fragen, aber danke im Voraus! :)

---

1. Matrix um die rechte Seite ergänzen. Das ergibt

           \(\begin{pmatrix}2&1&-1&1\\ 0&-1&3&1\\ 4&1&1&3\\ \end{pmatrix}\)

2. In reduzierte Zeilenstufenform umformen. Das ergibt

       \(\begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&-3&-1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}\)
   

3. Parameter für die Variablen festlegen, in deren Spalte keine neue Stufe beginnt.

   In der dritten Spalte beginnt keine neue Stufe. Die dritte Spalte gehört zur Variablen \(x_3\). Also ist
   

           \(x_3 = r\)
   

4. Die übrigen Zeilen in Gleichungen umwandeln und nach der jeweiligen Variable lösen. Die Gleichungen lauten.
   

           \(\begin{aligned}1x_1 + 1_r &= 1\\1x_2-3r &= -1\end{aligned}\)

   In jeder dieser Gleichungen kommt nur noch eine Variable vor, weil die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform vorliegt.
   

---

Vielen Dank für deine Antwort!

Wie kommt es dazu, dass die 3 zu -3 wird?

Könntest du mir deine Umformung schrittweise zeigen, bitte?

Hier ist meine:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 4 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \)  

Hier multipliziere ich die 1. Zeile mit 2 und subtrahiere sie von der 3. Zeile und erhalte:

-> \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \)

Dann subtrahiere ich die 2. von der 3. Zeile und erhalte:

-> \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Dann addiere ich die 2. auf die 1. Zeile und erhalte:

-> \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Dann multipliziere ich die 1. Zeile mit 1/2 und erhalte:

-> \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) 

Somit habe ich die reduzierte ZSF erhalten.

In einer anderen Aufgaben haben wir die zusätzliche Matrix, in dem Fall hier \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \) auch auf der rechten Seite ergänzt, aber mit minus als Vorzeichen, was ich nicht so richtig verstehe.

Vielen Dank im Voraus! :)

---

Wie kommt es dazu, dass die 3 zu -3 wird?

Die zweite Zeile wurde mit -1 multipliziert.