Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit Parameter t

Question

Kann mir jemand sagen, ob ich folgendes Gleichungssytem richtig gelöst habe und ob man das so aufschreiben kann?

$$ x_1 - 4x_2 = 2 \\ 3x_1 + t·x_2 = 1 \\ -2x_1 + t·x_2 = 3 $$

$$ L = \{ (-\frac{2}{5} | - \frac{3}{5}) \quad | \quad t = - \frac{11}{3} \} $$

Comments

$$L = \{ (-\frac{2}{5} | - \frac{3}{5}) \quad | \quad t = - \frac{11}{3} \}$$

Würde ich vorlesen als:

1.

" Die Lösungsmenge besteht aus (-2/5 | -3/5) unter der Bedingung, dass t = -11/3 "

Allenfalls auch

2.

" Die Lösungsmenge besteht aus (-2/5 | -3/5) für das gilt t = -11/3 "

1. Kann im Aufgabenzusammenhang Sinn machen. (Wenn nicht, vielleicht nochmals nachfragen)

2. Wäre äusserst merkwürdig.

Answer 1

3·x + t·y = 1
- 2·x + t·y = 3

I - II

5·x = -2 --> x = - 2/5

(- 2/5) - 4·y = 2 --> y = - 3/5

3·(- 2/5) + t·(- 3/5) = 1 --> t = - 11/3

Auch wie die Lösungsmenge notiert ist sieht gut aus.

Answer 2

Ja, deine Lösung ist richtig.

Answer 3

  Ich werde allerdings das dumme gefühl nicht los, dass wir eben falls die singulären Fälle untersuchen müssen .

      x1  -  4  x2  =  2       (  1  )

  3  x1  +  t  x2  =  1       (  2  )

   2  x1  -  t  x2  =  (  -  3  )      (  3  )

   Das Teilsystem  (  2;3  )  wird singulär  für t = 0 , brettert aber sofort auf einen Widerspruch .  In dem System ( 1;2 ) ergibt sich t = ( - 12 ) eben Falls mit einem Widerspruch .  In ( 1;3 ) wäre t = 8 ; auch hier ein widerspruch .

   Ich hatte das mal in einer Extremwertaufgabe; da waren auch alle Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ellipse zu berechnen . Und am Ende stellte ich fest, dass ich vergessen hatte, eine singuläre Lösung des  LGS  zu diskutieren .

Comments

  Es hat mir doch keine Ruhe gelassen .  Wenn dj da rangehst mit den Metoden der  AGULA , dann musst du t erst mal fest vorgeben .  Und zwar   hat die Koeffizientenmatrix  (  KM  )  deines  LGS  Format   3  X  2  .  Aber welchen Rang; 1 oder 2 ? Das wissenwir einstweilen noch nicht ; das hängt ja von t ab .

    Lösbar ist unser  LGS genau dann, wenn die erweitete  KM  den selben Rang hat wie die KM selber. Denn die Forderung nach Lösbarkeit bedeutet ja gerade, dass wir den Vektor der rechten Seite als Linearkombination der beiden KM Spalten mit Entwicklungskoeffizienten x1;2 ausdrücken können .

   Nun ist aber die erweiterte KM quadratisch vom Format 3 X 3 .  Fallunterscheidung .

   Hat die KM maximalen Rang 2 ,  ist das  LGS  also regulär, so verschwindet die Determinante der erweiterten KM genau dann, wenn das LGS lösbar ist, wenn also die erweiterte KM eben Falls Rang 2 hat. So bald diese Determinante ungleich Null wird, haben wir Rang 3 ===>  nicht lösbar .

   Ist der Rang der KM  =  1  , kann ja die erweiterte KM keinen größeren Rang haben als 2 .  Also auch im Falle linearer Abhängigkeit verschwindet die Determinante .

                 |       1         - 4         2         |

    det  =    |       3            t         1         |      =   0         (  1a  )

                 |       2          - t       - 3        |

    det  =  1 * t * ( - 3 ) - 4 * 1 * 2 + 2 * 3 * ( - t ) - 2 * t * 2 - ( - 4 ) * 3 * ( - 3 ) - 1 * 1 * ( - t )   =  0      (  1b  )

   -  12  t  -  44 =  0  ===>  t  =  (  -  11/3  )         (  1c  )

         Ich notiere dochmal das  LGS

        x1  -  4  x2  =  2              (  2a  )

    3  x1  +  t  x2  =  1              (  2b  )

    2  x1  -  t  x2  =  (  -  3  )     (  2c  )

   Der Fall der linearen Abhängigkei, also Rang 1 kann überhaupt nicht vorkommen .   Denn dann müsstest du ja in ( 2b )  haben t = ( - 12 ) und in  ( 2c )  t = 8 - und das widerspricht sich ja. Wir haben also streng bewiesen: Der t-Wert in ( 1c ) ist der einzige, für den eine Lösung existiert .  Und zwar auf Grund der Rangformel eine eindeutige Lösung . Ich mach noch den hässlichen Bruch weg

     x1  -     4  x2  =  2      (  3a  )

  9  x1  -  11  x2  =  3     (  3b  )

   6  x1  +  11  x2  =  (  -  9  )    (  3c  )

   Additionsverfahren  ( 3b ) + ( 3c )

    15  x1  =  (  -  6  )  ===>  x1  =  (  -  2/5  )       (  4a  )

  ( 3abc  )  ===>  x2  =  (  -  3/5  )