Lösungsmenge eines unterbestimmten linearen Gleichungssystems

Question

ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Mein Ansatz wäre es jetzt die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems aufzustellen. Das sähe dann so aus
1 0 1 3 0 -1 | 0
0 1 2 -1 0 2 | 0
0 0 0 0 1 3  | 0
0 0 0 0 0 0  | 0
0 0 0 0 0 0  | 0
und jetzt würde ich eigentlich den Gauß-Jordan-Algorithmus anwenden, aber damit kann man hier ja kaum was machen. Ich verstehs nicht. Stimmt mein Ansatz überhaupt ?
Vielen Dank für jede Hilfe.

Answer 1

jetzt sagst du x6=s und rechnest aus (3. Gleichung)   x5= -3s

dann beides in die 2. einsetzen und x3=t und x4= r einsetzen und x2 ausrechnen.

Dann alles in die erste einsetzen und x1 ausrechnen.

Comments

Super,

Dann würde meine Lösungsmenge ja so aussehen,

-t-3r+s

-2t+r-2s

t

r

-3s

s

| r,s,t ∈ ℝ

oder?

und dann noch zum weiten Teil der Aufgabe. Für welche b ∈ ℝ⁵ ist Ax = b lösbar.

Was genau muss ich hier machen ?

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Ich schreib dein 6-Tupel mal nebeneinander:

(-t-3r+s  ;-2t+r-2s ;   t   ;   r   ;   -3s   ;    s   ) 

= t*( -1 ; -2 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ) + r*( -3 ; 1  ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ) + s * ( 1 ; -2 ; 0 ; 0 ; -3 ; 1 ) 

also ist homogene System das lösbar für alle x aus dem von

( -1 ; -2 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 )   ;   ( -3 ; 1  ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 )  ;   ( 1 ; -2 ; 0 ; 0 ; -3 ; 1 ) 

erzeugten Unterraum von R^6 , also alle Linearkombinationen dieser 3, manche

nennen es auch die lineare Hülle.

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Ach so, welche b ?

Die beiden letzten Komponenten müssen schon mal 0 sein.

Und die ersten drei sind ( Glaube ich ??) egal.

Denn wenn du jetzt z.B als 4. eine 7 hast, dann hast du beim Auflösen ja

x5 + 3s =  7  also   x5 =  7 - 3s .

und so fort.

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Perfekt. Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe bei der b jetzt so argumentiert das rang(A) muss rang(A|b) sein, was 3 ist und da es 6 Unbekannte gibt, also 3<6 gibt es unendlich viele Lösungen.