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Warum gilt eigentlich LIM(1+1/n)n = e ?

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Also du meinst vermutlich (1+1/n)^n. Überleg doch mal, wie kann man allgemein einen Ausdruck bzw. eine Zahl mit der Eulerschen Funktion in Beziehung setzen, ohne diese zu verändern? Den Rest solltest Du dann eigentlich schaffen.

Hä verstehe ich nicht. Warum soll ich das denn mit e in Beziehung setzen??

Okay Tipp: Es gilt gür jede positive Zahl a > 0, a = e^(ln(a)).  Schreibe also (1+1/n)^n in dieser Form und versuche dann den Limes zu berechnen.

habe mir die Lösung angeschaut danke

3 Antworten

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Aloha :)

Hier die grundlegende Idee...

Da die Exponentialfunktion \(e^x\) abgeleitet wieder die Exponenteilafunktion ergibt, beträgt ihre Steigung \(1\) an der Stelle \(x_0=0\). Für betragsmäßig sehr kleine \(x\) kann \(e^x\) daher durch ihre Tangente \((1+x)\) an der Stelle \(x_0=0\) angenähert werden:$$e^x\approx1+x\qquad\text{für }|x|\ll1$$Die Näherung wird umso besser, je näher \(x\) bei Null liegt.

Nun kannst du dir überlegen, dass:$$e=e^1=e^{\frac nn}=\left(e^{\frac1n}\right)^n\approx\left(1+\frac1n\right)^n\qquad\text{für }n\gg1$$

Im Grenzwert \(n\to\infty\) wird diese Näherung exakt.

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Danke sehr! :)

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Das ist so grundlegend, dazu findet man zahlreiche Beweise im Internet. Wieso bemühst du nicht einmal selbst eine Suchmaschine und recherchierst selbstständig? Das ist viel lehrreicher. Stelle dann besser konkrete Fragen zu einem Beweis, den du gefunden hast.

Ein "experimenteller Beweis" geschieht in der Schule häufig über den Zinseszinseffekt: \(K_n=K_0(1+q)^n\)

Aufgrund des Zinseszinseffekts ist es profitabler, einen Euro über mehrere Zinsperioden zu verzinsen, auch wenn der Zinssatz geringer ist, in der Art, dass die Summe der unterjährigen Zinssätze wieder einen jährlichen Zinssatz von 100 % ergeben. Vermutung: Je höher die Zahl der Zinsperioden, desto höher ist am Ende das Kapital. Man stellt dann aber fest, dass eine weitere Erhöhung irgendwann gar nichts mehr bringt.

\(K_0\)Zinssatz \(q\) pro ZinsperiodeZinsperioden \(n\)\(K_n\)
1100 %1\((1+1)^1=2\)
150 %2\((1+\frac{1}{2})^2=2,25\)
125 %4\((1+\frac{1}{4})^4\approx 2,44\)
110 % 10\((1+\frac{1}{10})^{10}\approx 2,59\)
11 %100\((1+\frac{1}{100})^{100}\approx 2,70\)
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Habe nichts gefunden :(

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Dann nimm doch mal das als Grundlage.

Habe das jetzt schon gesehen danke

Gibt es eigentlich auch eine rationale Folge die gegen π konvergiert?

Die Leibniz-Reihe: \(\pi = 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\)

Stimmt wegen π/4 ursprünglich war das ja

danke dir

Ergänzung und Anmerkung dazu:

Bei sekündlicher Kapital-Verzinsung sähe es so aus:

(1+ 1/(365*24*3600)^(365*24*3600) = 2,718281615

Damit kommt man e schon sehr nahe.

Wenn man das Spiel weitertreibt (Millisekunden, Nanosekunden, ...) erhält man noch exaktere Werte. Ich finde dieses Beispiel sehr eindruckvoll und anschaulich im Kontext mit der irrationalen Zahl e.

Man kann aus 1000 Euro bei 100% p.a. nicht mehr als ca. 2718,82 machen, was immerhin fast 36% mehr wäre ist die Verdoppelung am Jahresende. e spielt bei der sogenannten kontinuierlichen = stetigen Verzinsung eine wichtige Rolle. Ob diese in der Realität vorkommt, weiß ich nicht. Ich kenne keine Bank, die so verzinst.

Hey, Dankeschön!

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Schau dir mal das Video von der lieben Magda an:


Achtung! Dort sind ein paar Fehler drin. Findest du alle?

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Danke aber ich wollte eigentlich Tipps und keine Lösung :(

Natürlich hat sich fast jeder Mathe-Youtuber schonmal mit diesem Grenzwert beschäftigt.

D.h. du kannst ja mal schauen, ob dein Lieblings-Youtuber auch schon ein Video davon hat.


Das ist sehr lobenswert, sag das nächstes Mal bitte gleich dabei.

Danke aber ich wollte eigentlich Tipps und keine Lösung :(

Das steht nicht in deiner Frage.

Grundsätzlich gibt es ganz viele verschiedene Wege das herzuleiten bzw. zu begründen. In der Schule hat man einfach für n verschiedene Zahlen eingesetzt und selber analysiert, was dann dabei herauskommt. Dann richtet sich das weitere Vorgehen nach deinem Kenntnisstand. Du brauchst also nur selber versuchen den Grenzwert mit den dir zur Verfügung stehenden Mitteln versuchen selber herzuleiten.

Wenn du das Video einmal gesehen hast, hast du eine ungefähre Ahnung, wie das ablaufen könnte. Und dann probierst du es mal, ob du es auch ohne Video hinbekommst. Entweder auf dieselbe Art oder auf eine andere Art.

Das zweite Video ist übrigens ein anderer Weg.

PS: Man braucht sich übrigens auch ein Video nicht gleich ganz anzusehen, sondern kann sich gleich einen Stift und Bleistift nehmen und wenn der nächste Schritt klar ist, dann das Video stoppen und zuerst selber rechnen und im Anschluss zur Kontrolle das Video laufen lassen und vergleichen.

Dankeschön für deine Videos

Ich finde das Video von Magda deutlich besser :D

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