Warum gilt eigentlich LIM(1+1/n)n = e?

Question

Warum gilt eigentlich LIM(1+1/n)n = e?

3 Antworten

Ein anderes Problem?

Tschakabumba · Answer 1 · 2024-08-11T03:47:27+0000

Aloha :)

Hier die grundlegende Idee...

Da die Exponentialfunktion $e^x$ abgeleitet wieder die Exponenteilafunktion ergibt, beträgt ihre Steigung $1$ an der Stelle $x_0=0$. Für betragsmäßig sehr kleine $x$ kann $e^x$ daher durch ihre Tangente $(1+x)$ an der Stelle $x_0=0$ angenähert werden:$$e^x\approx1+x\qquad\text{für }|x|\ll1$$Die Näherung wird umso besser, je näher $x$ bei Null liegt.

Nun kannst du dir überlegen, dass:$$e=e^1=e^{\frac nn}=\left(e^{\frac1n}\right)^n\approx\left(1+\frac1n\right)^n\qquad\text{für }n\gg1$$

Im Grenzwert $n\to\infty$ wird diese Näherung exakt.

Apfelmännchen · Answer 2 · 2024-08-10T20:14:24+0000

Das ist so grundlegend, dazu findet man zahlreiche Beweise im Internet. Wieso bemühst du nicht einmal selbst eine Suchmaschine und recherchierst selbstständig? Das ist viel lehrreicher. Stelle dann besser konkrete Fragen zu einem Beweis, den du gefunden hast.

Ein "experimenteller Beweis" geschieht in der Schule häufig über den Zinseszinseffekt: $K_n=K_0(1+q)^n$

Aufgrund des Zinseszinseffekts ist es profitabler, einen Euro über mehrere Zinsperioden zu verzinsen, auch wenn der Zinssatz geringer ist, in der Art, dass die Summe der unterjährigen Zinssätze wieder einen jährlichen Zinssatz von 100 % ergeben. Vermutung: Je höher die Zahl der Zinsperioden, desto höher ist am Ende das Kapital. Man stellt dann aber fest, dass eine weitere Erhöhung irgendwann gar nichts mehr bringt.

$K_0$	Zinssatz $q$ pro Zinsperiode	Zinsperioden $n$	$K_n$
1	100 %	1	$(1+1)^1=2$
1	50 %	2	$(1+\frac{1}{2})^2=2,25$
1	25 %	4	$(1+\frac{1}{4})^4\approx 2,44$
1	10 %	10	$(1+\frac{1}{10})^{10}\approx 2,59$
1	1 %	100	$(1+\frac{1}{100})^{100}\approx 2,70$

Der_Mathecoach · Answer 3 · 2024-08-10T20:17:35+0000

Danke aber ich wollte eigentlich Tipps und keine Lösung :(

Das steht nicht in deiner Frage.

Grundsätzlich gibt es ganz viele verschiedene Wege das herzuleiten bzw. zu begründen. In der Schule hat man einfach für n verschiedene Zahlen eingesetzt und selber analysiert, was dann dabei herauskommt. Dann richtet sich das weitere Vorgehen nach deinem Kenntnisstand. Du brauchst also nur selber versuchen den Grenzwert mit den dir zur Verfügung stehenden Mitteln versuchen selber herzuleiten.

Wenn du das Video einmal gesehen hast, hast du eine ungefähre Ahnung, wie das ablaufen könnte. Und dann probierst du es mal, ob du es auch ohne Video hinbekommst. Entweder auf dieselbe Art oder auf eine andere Art.

Das zweite Video ist übrigens ein anderer Weg.

Kommentiert 10 Aug von Der_Mathecoach

\(K_0\)	Zinssatz \(q\) pro Zinsperiode	Zinsperioden \(n\)	\(K_n\)
1	100 %	1	\((1+1)^1=2\)
1	50 %	2	\((1+\frac{1}{2})^2=2,25\)
1	25 %	4	\((1+\frac{1}{4})^4\approx 2,44\)
1	10 %	10	\((1+\frac{1}{10})^{10}\approx 2,59\)
1	1 %	100	\((1+\frac{1}{100})^{100}\approx 2,70\)

Warum gilt eigentlich LIM(1+1/n)n = e?

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