Warum ist lim (1 + 1/n)^{n+2} = e?

Question

Aufgaben:

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a-x^{3}+b}{e \cdot n^{2}+d}= \)
(e ≠ 0)

b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}= \)

c) \( \lim \limits_{n}\left(\sqrt{n^{4}+5 n^{2}}-\sqrt{n^{4}-3 n^{2}}\right)= \)

Answer 1

Limes (1 + 1/n) ^ (n+2)

= Limes( (1+1/n)^n * (1+1/n)^2  )

Für n gegen unendlich geht der 1. Faktor gegen e und der zweite gegen 1^2 = 0.

Daher

-------> e

e kann so definiert sein. https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

Am besten schaust du noch die Rubrik 'ähnliche Fragen' an. Kann ja sein, dass du mal etwas Ähnliches antriffst.

c) kann ich nicht genau entziffern.

Du kannst versuchen einen Bruch zu machen und oben und unten mit √(  ) + √(...) zu erweitern. 

Comments

(1 + 1/n)^{n + k} = (1 + 1/n)ⁿ(n + 1/n)^k

Der zweite Faktor geht gegen eins, nicht gegen null. Nur der Bruch 1/n geht gegen null, weshalb der Klammerausdruck insgesamt gegen eins geht. Multiplikation mit eins ändert den Wert einer Zahl nicht.