Ist der folgende Beweis von lim( 1 + x/n)^n = e^x richtig?

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass gilt:

$$\lim_{x \to +\infty} (1+\frac{x}{n})^n= e^x $$

Problem/Ansatz:

Kann ich mir das ganze durch geschicktes Umschreiben sehr einfach machen? Ich weiss naemlich bereits folgendes:

$$\lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{n})^n= e$$

$$Sei \space \frac{1}{n}:= \frac{x}{k}$$

Nun kann man schreiben:

$$\lim_{k \to +\infty} (1+\frac{x}{k})^{\frac{k}{x}}=\sqrt[x]{(1+\frac{x}{k})^k}= e$$

darf ich jetzt einfach potenzieren? Es besteht ja immerhin Gleichheit ...

Dann bekomme ich auch am Ende das, was ich zeigen sollte. Aber ist der Beweis richtig? Wie koennte man es vielleicht anders machen?

Answer 1

Nun kann man schreiben: $$\lim_{k \to +\infty} (1+\frac{x}{k})^{\frac{k}{x}}=\sqrt[x]{(1+\frac{x}{k})^k}= e$$

warum sollte dieser Ausdruck \(=e\) sein? Du hast $$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n= \dots $$ Setze nun $$\frac xn = \frac 1k \quad \implies n=k \cdot x$$ Bem.: wenn \(n \to \infty\), dann kann man nun \(k \to \infty\) laufen lassen. Einsetzen gibt $$\lim_{k \to \infty} (1+\frac{1}{k})^{k \cdot x} = \lim_{k \to \infty} \left( (1+\frac{1}{k})^k \right) ^x = e^x$$ Gruß Werner

Comments

Dein Beweis leuchtet mir auf jeden Fall ein, aber wieso sollte der Ausdruck nicht e sein?

Ich habe oben den Limes vergessen. Eigentlich sollte dort stehen:

$$\lim_{k \to +\infty} (1+\frac{x}{k})^{\frac{k}{x}}=\lim_{k \to +\infty}\sqrt[x]{(1+\frac{x}{k})^k}= e$$

War das mein Fehler hier oder noch etwas anderes?

Angefangen habe ich ja so:
$$\lim_{k \to +\infty} (1+\frac{1}{n})^{\frac{n}{1}}$$
Dann habe ich einfach 1/n mit x/k ersetzt und bin zu dem Ausdruck gekommen.

---

... aber wieso sollte der Ausdruck nicht e sein?
Ich habe oben den Limes vergessen.

ja stimmt. Ich konnte damit zunächst gar nichts anfangen. Ich denke, so geht es auch. Beim Limes muss man immer vorsichtig sein, und wenn das \(x\) noch innerhalb des Ausdrucks steht, wäre ich mir unsicher.