Vielleicht dürft ihr die Eigenschaften von \(\ln\), \(\exp\) und die Regel
von l'Hospital verwenden. Wenn ja, dann wäre dies mein Lösungsvorschlag:
\(\exp\) und \(\ln\) sind stetige Umkehrfunktionen von einander.
Daher gilt
\((1+x_n)^{1/x_n}\rightarrow e\iff \ln[(1+x_n)^{1/x_n}]\rightarrow 1\) für \(n\rightarrow\infty\).
Es ist $$\lim_{n\rightarrow\infty}\ln[(1+x_n)^{1/x_n}]=\lim \frac{1}{x_n}\cdot \ln(1+x_n).$$Wir berechnen$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\ln(1+x)}{x}$$mit der Regel von l'Hospital:$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}=1$$q.e.d.
