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Aufgabe: lim (1+ xn)1/xn = e


Problem/Ansatz:

Hallo

Ich habe die oben stehende Aufgabe gegeben mit den Infos, dass xn eine Nullfolge ist, keines der Folgenglieder 0 ist und für alle Folgenglieder größer als -1 sind. Diese Behauptung sollen wir nun beweisen. Um ehrlich zu sein, habe ich mich jetzt schon 5 Tage daran versucht und keine Lösung gefunden, deshalb würde ich hier einfach mal fragen wollen, ob jemand damit zurecht kommt.

Beste Grüße

WiMaJoPa

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Vorläuferaufgaben wie z.B. https://www.mathelounge.de/489217/bestimmen-sie-den-grenzwert-der-fo… sind bekannt? Darfst du so was verwenden?

Vermutlich geht n gegen unendlich nicht x. Richtig?

Genau. N geht gegen unendlich. Und leider darf ich sowas nicht verwenden. :(

Was darfst du denn überhaupt verwenden?

Thema in der Theorie? Definitionen? Wie habt ihr denn e z.B. definiert?

Also wir hatten die beiden Definitionen von e, also

lim (1 + 1/n) n = e und

Summe k bis unendlich 1/k! = e.

Sämtliche Definitionen zu Limes und zu Folgen.

1 Antwort

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Vielleicht dürft ihr die Eigenschaften von ln\ln, exp\exp und die Regel
von l'Hospital verwenden. Wenn ja, dann wäre dies mein Lösungsvorschlag:

exp\exp und ln\ln sind stetige Umkehrfunktionen von einander.

Daher gilt

(1+xn)1/xne    ln[(1+xn)1/xn]1(1+x_n)^{1/x_n}\rightarrow e\iff \ln[(1+x_n)^{1/x_n}]\rightarrow 1 für nn\rightarrow\infty.

Es ist limnln[(1+xn)1/xn]=lim1xnln(1+xn).\lim_{n\rightarrow\infty}\ln[(1+x_n)^{1/x_n}]=\lim \frac{1}{x_n}\cdot \ln(1+x_n).Wir berechnenlimx0ln(1+x)x\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\ln(1+x)}{x}mit der Regel von l'Hospital:limx011+x1=limx011+x=1\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}=1q.e.d.

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