Question

Zeigen Sie, dass die angegebene Funktionenfolge auf [−1, 1] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.

fn(x) =( 1 für x ≥\( \frac{1}{n} \)
           nx für −\( \frac{1}{n} \)  < x < \( \frac{1}{n} \)
           −1 für x ≤ −\( \frac{1}{n} \)

Vielleicht nimmt sich einer mal die Zeit und löst mir die Aufgabe, damit ich sie zur Klausur dann kann.

Answer 1

\(\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) konvergiert punktweise gegen

\(f:[-1,1]\to [-1,1],x\mapsto \begin{cases} -1&\text{falls } x \lt 0 \\ 0&\text{falls } x=0 \\ 1&\text{falls } x \gt 0 \end{cases} \)

weil \(f_n(0) = 0\, \forall n\) und \(f_n(x) = f(x)\, \forall n \geq \frac{1}{|x|}\).

\(\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) konvergiert nicht gleichmäßig, weil \(f\) nicht stetig ist.