Question

Zeigen Sie, dass die angegebene Funktionenfolge auf [−1, 1] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.

fn(x) =( 1 für x ≥$\frac{1}{n}$
           nx für −$\frac{1}{n}$  < x < $\frac{1}{n}$
           −1 für x ≤ −$\frac{1}{n}$

Vielleicht nimmt sich einer mal die Zeit und löst mir die Aufgabe, damit ich sie zur Klausur dann kann.

Answer 1

$\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert punktweise gegen

$f:[-1,1]\to [-1,1],x\mapsto \begin{cases} -1&\text{falls } x \lt 0 \\ 0&\text{falls } x=0 \\ 1&\text{falls } x \gt 0 \end{cases}$

weil $f_n(0) = 0\, \forall n$ und $f_n(x) = f(x)\, \forall n \geq \frac{1}{|x|}$.

$\left(f_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert nicht gleichmäßig, weil $f$ nicht stetig ist.