Aufgabe 3. Wir betrachten die Menge A := P({a, b, c}).

Question

Aufgabe:

Aufgabe 3. Wir betrachten die Menge A := P({a, b, c}). Auf A betrachten
wir die Relation R, die aus den Paaren (U, V ) mit der Eigenschaft, daß es eine
Bijektion f : {a, b, c} → {a, b, c} mit f(U) = V gibt, besteht. Zeigen Sie, daß R
eine Aquivalenzrelation ist und beschreiben Sie ¨ A/R durch Angabe einer Liste
der Elemente.

Problem/Ansatz:

Aufgabe 3. Wir betrachten die Menge A := P({a, b, c}). Auf A betrachten
wir die Relation R, die aus den Paaren (U, V ) mit der Eigenschaft, daß es eine
Bijektion f : {a, b, c} → {a, b, c} mit f(U) = V gibt, besteht. Zeigen Sie, daß R
eine Aquivalenzrelation ist und beschreiben Sie ¨ A/R durch Angabe einer Liste
der Elemente.

Answer 1

Äquivalenzrelation ist das, weil es für jedes U∈P(A)

eine Bijektion f : {a, b, c} → {a, b, c} mit f(U) = U gibt

nämlich die Identität. Also ist R reflexiv.

Symmetrisch auch, denn wenn f eine Bijektion mit

f(U)=V ist, dann ist f^-1 eine mit f(V)=U.

Und transitiv, da die Verkettung zweier Bijektionen

auch bijektiv ist.

Eine Bijektion f : {a, b, c} → {a, b, c} mit f(U) = V gibt

es genau dann, wenn U und V gleichviele Elemente haben.

Also sind die 4 Äquivalenzklassen von R

(also die Elemente von A/R)

{∅}

{{a},{b},{c}}

{{a,b},{b,c},{a,c}}

{{a,b,c}}