Wir betrachten die Menge M: = {((a,-b)(b,a)) | a,b ∈ R} . Beh: ((a,-b)(b,a)) → a + ib ist Isomorphismus M->C

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Menge

\( M:=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right) \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} \subset M(2, \mathbb{R}) \)

(a) Beweisen Sie: Aus \( X, Y \in M \) folgt \( X+Y \in M \) und \( X \cdot Y \in M \).

(b) Beweisen Sie, dass \( M \) mit den auf \( M(2, \mathbb{R}) \) definierten Verknüpfungen ein Körper ist.

(c) Beweisen Sie, dass die Abbildung

\( \varphi: M \rightarrow \mathbb{C}, \quad\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right) \mapsto a+i b \)

ein Isomorphismus ist

(d.h. \( \varphi \) ist bijektiv und es gilt \( \varphi(X+Y)=\varphi(X)+\varphi(Y) \) und \( \varphi(X \cdot Y)=\varphi(X) \cdot \varphi(Y) \)
für alle \( X, Y \in M) \).

Answer 1

Bei a) kann man einfach für X ((d-e)(ed)) und für Y((f-g)(gf)) nehmen und

X+Y resp. X*Y berechnen. Da sieht man, dass an zwei Stellen dasselbe (also a) rauskommt und an den andern beiden dasselbe mit unterschiedlichen Vorzeichen (also b und -b)

Das sollte als Beweis für a) genügen.

Bei b) kann man dann die weiteren Körperaxiome prüfen.

Bei (c) muss man alles nachrechnen, was die da unter d.h. aufführen.