Lineare Algebra, Universitäres Niveau. Isomorphismus a → a* von R^3 in den Dualraum (R^3)*.

Question

Ich benötige Hilfe bei den Fragen die im Foto zu sehen sind...

Vielen Dank an alle die sich die Zeit nehmen und an Danke an dieses tolle Forum.

Wir betrachten die Basis (a_1,a_2,a_3)= ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) von ℝ^{3 }

Diese Basis liefert einen Isomorphimus von a ↦ a* von ℝ^{3 }in den Dualraum (ℝ^{3})*

Berechnen Sie (1,2,3)*((1,0,1))

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Wir betrachten die Basis (a1,a2,a3)= ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) von ℝ³ 

 Diese Basis liefert einen Isomorphimus von a ↦ a* von ℝ³ in den Dualraum (ℝ³)*

Berechnen Sie (1,2,3)*((1,0,1))

Answer 1

Die zu a1 , a2 , a3 duale Basis ist ja dadurch bestimmt , dass a_i(a_j) = 1 oder 0 je nachdem, ob i=j oder die

beiden verschieden sind.

Und es ist (1,2,3) ja gerade = a1 + a2 + a3   und  (1 , 0 ,1 ) = a1 - a2 + a3 also ist

(1,2,3)*  (   (1 , 0 ,1 ) )

=  a1*  (   (1 , 0 ,1 ) )  + a2* (  (   (1 , 0 ,1 ) )  + a3*  (   (1 , 0 ,1 ) )


=  a1*  (  a1 - a2 + a3   )  + a2* (  a1 - a2 + a3  )  + a3*  (  a1 - a2 + a3 )

=  1                          - 1                                         + 1  

= 1 .
Und zum Teil 2 :     Ja

Ein Teilraum der die gleiche Dim hat wie der ganze Raum ist im endlichdimensionalen Fall

schon der ganze Raum   Also sind sie gleich und damit f surjektiv.