Dualraum - Erklärung?

Question

Ich verstehe den Nutzen und den generellen Begriff Dualraum nicht richtig.

Soweit weiß ich zumindest schon:

Also wen wir einen Körper K, einen Vektorraum V und eine Basis B = {b₁,...,b_n} haben, dann ist ja V* der Dualraum zu V und Basis B* = {b₁*,...,b_n*}.

Die Basis sebst erhält man ja dadurch das man alle Basisvektoren aus B in die jeweiligen b_i* einsetzt, und raus kommt dabei ja immer das Konecker Delta (weiß aber leider auch nicht warum das so ist).

Alternative kann man ja auch alle Basisvektoren aus Basis B nehmen, in eine Matrix packen, invertieren und dann bilden ja die Zeilen der invertierten Matrix, die Basis von B*.

Wie würde man das denn als Basis notieren, weil Vektoren sind das ja nicht oder?

Im Skript steht zudem das V* die Menge aller linearen Abbildungen von V nach K ist, kann mir vlt jemand erklären wie das gemeint ist?

 Vielen Dank auf jedenfall schonmal, das Thema fällt mir echt schwer.

Answer 1

Hallo

 eigentlich ist dein letzter Satz der wichtigste:" V* die Menge aller linearen Abbildungen von V nach K .

 wie kannst du dir eine lineare Abbildung von V nach K vorstellen?

 wenn dein V ein skalarprodukt hat, nimm einen festen Vektor v  und bilde das Skalarprodukt mit allen Vektoren von V.

also f(x)=<v,x> dass das linear ist siehst du hoffentlich sofort

 denn f(x+y)=f(x)+f(y) und f(r*x)=r*f(x) jetzt kann man eine Addition in V* definieren f+g ist definiert durch (f+g)(x)=f(x)+g(x) und eine Multiplikation mit Skalar r  durch (r*f)(x)=r*f(x)

 damit ist V* wieder ein VR.

 er hat dieselbe Dimension wie V, ist also zu V isomorph.

Gruß lul