Krümmungsverhalten dieser Funktion bestimmen

Question

Wie siehts denn hier aus? Die zweite Ableitung ist doch 12x² + 24x+ 8 wenn ich die Null setze komme ich auf total seltsame werte! wie muss ich weiter machen HILFE!

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f ( x ) = x^4 + 4 * x^3 + 4 * x^2
f ´´ ( x ) = 4 * x^3 + 12 * x^2 + 8 * x
f ´´ ( x ) = 12 * x^2 + 24 * x + 8

Wendepunkt bei
12 * x^2 + 24 * x + 8 = 0

x = -1.58
x = - 0.42

Also völlig normale Werte.
Wie hast du gerechnet ?

Answer 1

> Die zweite Ableitung ist doch 12x² + 24x+ 8

Ja.

> wenn ich die Null setze komme ich auf total seltsame werte!

Was genau findest du an -1 - 1/√3 und -1 + 1/√3 seltsam?

> wie muss ich weiter machen

Genau so wie wenn die Werte nicht seltsam wären.

Answer 2

Zweite Ableitung: f ''(x)=12x²+24x+8 Wendepunkte (-1-√3/3;4/9) und (-1+√3/3;4/9) Die Krümmung beginnt mit einer Linkskurve. Zwischen den Wendepunkten eine Rechtskurve. Und dann wieder eine Linkskurve.

Answer 3

mögliche Wendesstellen findest du aus der Gleichung  f "(x) = 0:

f(x) =  x⁴ + 4·x³ + 4·x²

f '(x) = 4·x³ + 12·x² + 8·x

f "(x) = 12·x² + 24·x + 8 

12·x² + 24·x + 8 = 0

x² +2·x + 2/3 = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = 2 ; q = 2/3

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

....

 x₁  =  √3/3 - 1 ≈  - 0,423       ;     x₂  = - √3/3 - 1  ≈  -1,577

Der Krümmungsverlauf ergibt sich aus

Vorzeichenverlauf von f " :

x                 - ∞                        -1,577                        - 0,423                      ∞                 

f "(x)                          +                 0               -                    0            +   

                                LKr                              RKr                               LKr

Wendepunkte hat man an den Nullstellen von f " , wenn f " dort das Vorzeichen wechselt:

W₁ (  -1,577 |  0.444 )    ;    W₂ (   - 0,423 | 0,444 ) 

Gruß Wolfgang