fehlende Linearität zeigen

Question

Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass für x = (x₁, x₂)T ϕ : R ² → R, ϕ(x) = x₁ · x₂ nicht linear ist

Ich habe leider keine Idee, geschweige den Ansatz oder Lösungsvorschlag für diese Aufgabe, würde mich über Hilfe freuen

Vielen Dank.

Answer 1

Hallo :-)

setze doch mal in die Definition zur linearen Abbildung ein und schaue, was bei deiner Abbildung für Probleme auftreten können.

Comments

leider bringt mir das meiner Lösung nicht näher, weil ich immer noch nicht weiß wie ich voregehen kann. Bevor die Frage kommt, mir ist die Definition bewusst: Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper.

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Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper.

Unpräzise! Schreibe die Definition (insbesondere die Abbildung mit ihren Eigenschaften) bitte hin, so banal das jetzt auch klingen mag.

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Ich glaube nicht, dass mich eine Definition, die ich nicht anwenden kann, da ich es nicht verstehe, mir das meiner Lösung näher bringt. Ich verstehe die Aufgabenstellung etc nicht. Definitionen sind schön und gut aber ohne die Möglichkeit oder Erklärung wie man sie anwendet absolut nutzlos.

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Dann backe erstmal kleine Brötchen. Aus der Schule kennst du bestimmt lineare Funktionen der Form \(f:\space \mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto a\cdot x\). Hier die Rechtfertigung, warum diese nun im Sinne der Definition lineare Funktion heißt:

Für alle \(v,w\in \mathbb{R}\) und alle \(\lambda \in \mathbb{R}\) ist:

1.) \(f(v+w)=a\cdot (v+w)=a\cdot v+a\cdot w=f(v)+f(w)\)

2.) \(f(\lambda \cdot v)=a\cdot (\lambda \cdot v)=\lambda \cdot (a \cdot v)=\lambda \cdot f(v)\).

Oder so eine Abbildung \(f:\space \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2,\space \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_3 \end{pmatrix}\). Die ist auch linear, denn

Für alle \(\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\) und alle \(\lambda \in \mathbb{R}\) ist:

$$1.)\space f\left(\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3 \end{pmatrix} \right)=f\left(\begin{pmatrix}v_1+w_1\\v_2+w_2\\v_3+w_3 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}(v_1+w_1)+(v_2+w_2)\\v_3+w_3 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}(v_1+v_2)+(w_1+w_2)\\v_3+w_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1+v_2\\v_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}w_1+w_2\\w_3\end{pmatrix}=f\left(\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}\right)+f\left(\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3 \end{pmatrix} \right)$$

2.) analog.

Und jetzt gucke wieder auf deine Abbildung. Siehst du jetzt, warum es hier problematisch wird?