Die Elemente \(v\) und \(\tilde{v}\) sind hier Polynome vom Grad \(n\) aus der Menge \(P_n\). Dort hat ein Polynom die allgemeine Gestalt:
$$ p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot x^k $$ mit Koeffitienten \(a_k\). Allerdings bezeichnet man üblicherweise Mengen von Polynomen mit \(\mathbb{K}[x]_{\leq n}\), denn so wird auch deutlich, aus welcher Menge die Koeffizienten \(a_k\) stammen und in welcher Variablen (hier \(x\)) die Polynome leben.
Deine Abbildung \(L\) bildet nun ein Polynom vom Grad \(n\) auf ein Polynom vom Grad \(n+1\) ab, was hier durch Multiplikation eines Polynoms der Form \(x\) passiert. So ein Polynom kann nun eine Summe aus zwei Polynomen sein, oder ein skalliertes Polynom, also \(p+q\) oder \(\alpha \cdot p\), wobei \(p,q\in P_n\) und \(\alpha\) ein Skalierungsfaktor ist, aber eben aus deiner Aufgabenstellung nicht klar wird, auf welche Menge von Zahlenwerten zurückgegriffen wurde.
Wie prüfe ich das?
Setz doch mal zwei Polynome zusammenaddiert in die Abbildung \(L\) ein und forme solange um, bis du von \(L(p+q)\) auf \(L(p)+L(q)\) kommst. Das gleiche mit der Skalierung.
Du kannst ja so anfangen, indem du dir zwei Polynome \(p,q \in P_n\) hernimmst. Die haben die Gestalt:
$$ p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot x^k\\q(x)=\sum\limits_{k=0}^n b_k\cdot x^k\\(p+q)(x)=\sum\limits_{k=0}^n (a_k+b_k)\cdot x^k$$
Dann hat man \(L((p+q)(x))=L\left(\sum\limits_{k=0}^n (a_k+b_k)\cdot x^k\right )\\=x\cdot \left(\sum\limits_{k=0}^n (a_k+b_k)\cdot x^k\right )=...=L(p(x))+L(q(x))\)
Forme nun also diesen Ausdruck so, um, sodass du die Definition der Abbildung \(L\) bei beiden Polynomen \(p\) und \(q\) wieder erkennst.
Auf dieselbe Art zeigst du dann \(L((\alpha\cdot p)(x))=\alpha\cdot L(p(x))\).
