skalarprodukt und Vektoren zueiander orthogonal

Question

Aufgabe:

Wir betrachten folgende Skalarprodukt auf dem Vektorraum R[x]≤2: <·,·>◦:=(a0 +a1x+a2x2,b0 +b1x+b2x2)→a0b0 +a1b1 +a2b2.

Welche der folgenden Vektoren sind bzgl. < ·, · >◦ zueinander orthogonal? 1, x² −2x, 1−x−2 x²

wie kann mann anfangen ?

Comments

steht in der Aufgabe a0+a1x1+... ?

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Z.B. gilt für die ersten beiden Vektoren ⟨a,b⟩ = ⟨1+0x+0x²,0-2x+1x²⟩ = 1·0 + 0·(-2) + 0·1 = 0. Also orthogonal.

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 x2 = x² alle^s kl_a^r

Answer 1

Es ist doch allgemein:

(a0 +a1x+a2x^2,b0 +b1x+b2x^2)→a0b0 +a1b1 +a2b2.

Das musst du nun übertragen:

1              =  0x^2 + 0x +  1

 x² −2x    =  1x^2 + -2x + 0

 1−x−2 x²  = =  -2x^2 + -1x + 1

also ist   <  x² −2x    ;  1−x−2 x² >

= <   1x^2 + -2x + 0 ;  -2x^2 + -1x + 1 >

= 1*(-2) + (-2)*(-1) + 0*1 = 0, also sind die beiden orthogonal.