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Aufgabe 3.1 Orthogonalität und orthonormiertes Basissystem
Frage 7 von 7 (14 Punkte)
Nicht beantwortet
Gegeben sind die beiden dreidimensionalen Vektoren
\( \begin{array}{l} \mathbf{p}=(1) \mathbf{e}_{1}+(0) \mathbf{e}_{2}+(6) \mathbf{e}_{3}, \\ \mathbf{q}=(-5) \mathbf{e}_{1}+t \mathbf{e}_{2}+(-2) \mathbf{e}_{3} . \end{array} \)
Berechnen Sie den Parameter \( t \) so, dass die Vektoren \( \mathbf{p} \) und \( \mathbf{q} \) zueinander orthogonal stehen. Bilden Sie mit dem von Ihnen berechneten Wert für \( t \) den dritten benötigten Vektor \( \mathbf{r} \) für ein orthogonales Basissystem. Normieren Sie in einem letzten Schritt ihre Vektoren, um ein orthonormiertes Basissystem zu erhalten.
Orthogonalität:
\( t= \)
orthogonales Basissystem:
\( \mathbf{r}=(\square) \mathbf{e}_{1}+(\square) \mathbf{e}_{2}+(\square) \mathbf{e}_{3} \)
orthonormiertes Basissystem:
\( \begin{array}{l} \mathbf{p}_{0}=(\square) \mathbf{e}_{1}+(\square) \mathbf{e}_{2}+(\square) \mathbf{e}_{1}+(\square) \mathbf{e}_{3}, \\ \mathbf{q}_{0}=(\square) \mathbf{e}_{2}+(\square) \mathbf{e}_{3}, \\ \mathbf{r}_{0}=(\square, \end{array} \)
Aufgabe:
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Nr. 6) \( \mathbb{R}^{3} \)
Geg.:
\( \begin{array}{l} p=e_{n_{1}}+6 e_{n_{3}} \\ q=-5 e_{n_{1}}+t e_{n_{2}}-2 e_{n_{3}} \end{array} \)
Suche \( t \Rightarrow \) damit: \( p / q \) orthoganal
Lo Vektor \( r \) bilden für ath. Basissystom
\( L_{0} \) normieren der Vectorn
\( \begin{array}{l} \cos \alpha=\frac{a \cdot b}{|a||b|}=\cos \left(90^{\circ}\right)=0 \\ \left(e_{1}+6 e_{n_{3}}\right) \cdot\left(-5 e_{N_{1}}+t_{w_{2}}-2 e_{w_{3}}\right)=-5+t-12=-17+t \\ |p|=\sqrt{1^{2}+6^{2}}=\sqrt{37} \\ |q|=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29+t^{2}} \\ \Rightarrow \quad \frac{-17+t}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{29+t^{2}}}=0 \quad 1 \cdot \sqrt{37} \sqrt{29+t^{2}} \\ -17+t=0 \\ t=17 \\ \end{array} \)
Hallo,
ich möchte gerne einen Vektor finden, der orthogonal zu p und q ist. Ist mein Rechenansatz richtig? Wann benutze ich das Spatprodukt?
LG
