Rationale Näherung einer irrationalen Wurzel

Question

Aufgabe: Berechnen Sie für a:=2 und x₀:= 7/5 die Werte x₁, x₂ in der Form a/b mit ganzen Zahlen a,b (also gemeine Brüche).

Vergleichen Sie dann mittels eines Rechenautomaten die Dezimalbruch-Darstellung von x₂ mit einem genaueren Wert für √2.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Ansatz a/b, also könnte ich dann einfach a einsetzen und dann müsste ich das = x₀ setzen oder? Ich weiß nicht so genau, wie ich das berechnen soll. Oder könnte man das mit dem linearen Gleichungssystem berechnen mit dem Rang einer Matrix?

Comments

Die Aufgabe ist völlig unklar was ist x1,x2

irgendwie scheint es um eine Näherung für √2 zu gehen?, Welche benutzt ihr dazu?

lul

---

Wer hat sich soe etwas Wirres ausgedacht?

Answer 1

Ich interpretiere das mal so:

Es geht um das Heron-Verfahren zur Bestimmung eines

Näherungswertes für √2.  Mit \( x_0 = \frac{7}{5}  \)

Berechne \( x_1 \)   durch \(x_1 = \frac{1}{2}(x_0 + \frac{2}{x_0} ) \).

Also \(x_1 = \frac{1}{2}(\frac{7}{5} + \frac{2}{\frac{7}{5}}) = \frac{1}{2}(\frac{7}{5} +{\frac{10}{7}})  =\frac{1}{2}( \frac{49}{35} +{\frac{50}{35}})={\frac{1}{2}\cdot \frac{99}{35}}=\frac{99}{70}  \)

und \(x_2 = \frac{1}{2}(\frac{99}{70} + \frac{2}{\frac{99}{70}}) =\frac{1}{2}( \frac{99}{70} +{\frac{140}{99}}) \)

\( =\frac{1}{2}( \frac{9801}{6930} +{\frac{9800}{6930}})=\frac{1}{2}\cdot \frac{19601}{6930} =\frac{19601}{13860}\)

Vergleich: x₂=1,41421356421...    und √2 =1,41421356237...