Wie bildet man einen vektor der zu einem anderen orthogonal und linear inabhägig ist?

Question

Aufgabe:

Geben sie zu dem vektor 2 weitere vektoren an die orthogonal und linear unabhängig sind. Vektor a (0/-3/0)

Problem/Ansatz:

Ich dachte um einen dazu orthogonalen vektor zu bilden  muss man nur eine Komponente Null setzten und die 2 anderen vertauschen und dabei bei einer das vorzeichen ändern...

Aber in der lösung steht als Beispiel (1/0/0) oder (0/0/1) ??

Warum ist hier eine Zahl anders? Und wie kann man einen vektor zu einem anderen orthogonal ind linear unabhängig machen?

Answer 1

Die drei Vektoren verlaufen jeweils in Richtung einer der drei Koordinatenachsen und sind deshalb linear unabhängig und orthogonal zueinander.

Dabei ist es egal, wie lang sie sind. Daher können die Zahlen, die nicht Null sind, beliebig gewählt werden.

Außerdem ist es ja nur ein Beispiel. Es gibt unendlich viele Lösungen.

:-)

Answer 2

Du hättest in der Lösung sicherlich statt der 1en dort jeweils -3 erwartet.

Das wäre auch richtig gewesen, aber da die anderen Komponenten 0

sind ist ja z.B. (-3/0/0) ein Vielfaches von (1/0/0) also anschaulich

gesprochen einfach nur länger.

Zur Frage:

Und wie kann man einen vektor zu einem anderen orthogonal und linear unabhängig machen?

gehst du bei "krummeren" Zahlen , wenn etwa ( 2/-1/5) vorgegeben ist ruhig mit der

von dir beschriebenen Verfahren vor. Wähle etwa 0 als 1. Komponente und bekomme

( 0 / 5 / 1 )  oder 0 als zweite und hast dann ( 5 / 0 / -2 ) . Wegen der 0en an verschiedenen

Stellen sind sie lin. unabh.