Bestimme alle Einheitsvektoren ∈ ℝ², die orthogonal zu Vektor x = (1|2) sind

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Einheitsvektoren \( \vec{e} \in \mathbb{R}^{2}, \) die orthogonal zu \( \vec{x}=\left(\frac{1}{2}\right) \) sind.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich da vorgehen soll. Ich habe komische Brüche wie 25/28 oder 25/56 heraus.

Answer 1

Aloha :)

Für die orthogonalen Vektoren \(\binom{x}{y}\) muss gelten:$$0\stackrel!=\binom{x}{y}\cdot\binom{1}{2}=x\cdot1+y\cdot2\quad\Longleftrightarrow\quad x+2y=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-2y$$Damit haben wir alle orthogonalen Vektoren gefunden:$$\binom{x}{y}=\binom{-2y}{y}=y\binom{-2}{1}\quad;\quad y\in\mathbb R$$Davon sind die Einheitsvektoren gesucht, das heißt:$$1\stackrel!=\left\|\binom{-2y}{y}\right\|=\sqrt{(-2y)^2+y^2}=\sqrt{5y^2}=\sqrt5\cdot|y|\quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{1}{\sqrt5}$$Es gibt also 2 solche Einheitsvektoren:$$\vec e_1=-\frac{1}{\sqrt5}\binom{-2}{1}=\frac{1}{\sqrt5}\binom{2}{-1}\quad;\quad \vec e_2=\frac{1}{\sqrt5}\binom{-2}{1}$$

Answer 2

Hallo du brauchst doch nur irgendeinen Vektor senkrecht zu (1,2) also (x,y)*(1,2)=0 also x+2y=0 jetzt für y was einfaches wählen z,B, y=1, daraus x, dann hast du einen senkrechten Vektor, alle Vielfachen davon sind auch senkrecht, also dividiere durch den Betrag und du hast den= alle senkrechten Einheitsvektoren.

Gruß lul