Aloha :)
Wir bestimmen zunächst das Vektorprodukt der beiden Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\), denn dieses steht senkrecht auf den beiden Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\):$$\begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\-4\\\sqrt2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\sqrt2+4\\3+3\sqrt2\\12-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4(\sqrt2+1)\\3(\sqrt2+1)\\0\end{pmatrix}=(\sqrt2+1)\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$$
Dieses Vektorprodukt müssen wir nun so normieren, dass sein Länge \(5\) ergibt. Offenbar reicht es dazu schon, den Vorfaktor \((\sqrt2+1)\) wegzulassen. Der gesuchte Vektor ist also$$\vec n=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\left\|\vec n\right\|=\sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5$$
