Wendestellen/Sattelpunkte bestimmen für f(x) = 1/4·x^{4} - 2·x^{2} - 9/4

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Nullstellen, die Extrema und die Wendestellen / Sattelpunkte \( f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}-\frac{9}{4} \)

Problem/Ansatz:

f´=x³-4x

f´´=3x²-4

f´´´=6x

Nullstellen berechnen mit f´(x)=0

0=x³-4x                wenn man für x=0 einsetzt komme ich auf beiden Seiten auf Null 0³-4*0=0

x₁=0

P/Q =x²-4-> x²=+/-\( \sqrt{4} \)

Also x2= 2 und x3=-2

In f´´ einsetzen:

f´´(2)=3*2²-4=8>0 Tiefpunkt  f´´(-2)=8>0 Tiefpunkt f´´(0)=-4<0 Hochpunkt

Wendestelle

2. Ableitung Nullsetzen

0=3x²-4                durch 3 teilen -> 0=x²-4/3   

x²=+/-\( \sqrt{4/3} \)

x1=\( \sqrt{4/3} \)  x2=-\( \sqrt{4/3} \)

Ab hier habe ich wahrscheinlich einen Fehler

Wie funktioniert die Prüfung der Wendepunkte?

Answer 1

Hallo Melly,

Bestimmen Sie die Nullstellen, die Extrema und die Wendestellen / Sattelpunkte
f(x) = 1/4·x⁴ - 2·x² - 9/4

Deine Ableitungen sind richtig.

Nullstellen berechnen mit f´(x)=0

Mit f´(x)=0 berechnet man die möglichen Extremstellen (hast du dann richtig gemacht!)

Die Nullstellen berechnet man mit f(x) = 0      (Kontrollergebnis:  x = ±3)

    ersetze x² durch z, dann hast du eine quadratische Gleichung

Ab hier habe ich wahrscheinlich einen Fehler

Nein, setze x_1,2 in f ''' ein  f '''(x_1,2) ≠ 0 →  Wendestellen.

Nachtrag:

Gruß Wolfgang

Answer 2

Also wenn du überprüfen ob die Wendestelle bei der 2.Ableitung wirklich eine Wendestelle bzw. Punkt ist. Setzt du den in die dritte Ableitung ein und schaust ob das ungleich Null ist. Wenn es der Fall ist, gib es einen Wendepunkt.

Answer 3

f(x) = 0.25·x^4 - 2·x^2 - 2.25

f''(x) = 3·x^2 - 4 = 0 --> x = ± √(4/3)

Eine Funktion 4. Grades kann maximal zwei Wendestellen haben. Wenn du rechnerisch zwei Wendestellen heraus bekommst müssen beides wirkliche Wendestellen sein. Ein Flachpunkt ergibt sich nur aus der Verschmelzung von mind. 2 Wendepunkten.

Ansonsten setzt du die Wendestellen in die nächste Ableitung ein und schaust ob etwas ungleich Null heraus kommt.

f'''(√(4/3)) = 6·√(4/3) > 0 → WP mit RL Krümmungswechsel