Abgeschlossenheit vom unendlichen Schnitt über (-1/n,1/n)

Question

Aufgabe:

Ich betrachte die Menge \(M:=\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N}_{> 0}} \big]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\big[=\{0\}\in \mathbb{R}\) mit der Standardmetrik, also hier in der Form \(d(x,y)=|x-y| \).

Nun wird behauptet, dass M nicht offen, sondern abgeschlossen ist. Ich verstehe nicht warum...

Problem/Ansatz:

Daher war mein Ansatz, das mal mit einem Widerspruchsbeweis zu machen. Ich nehme zuerst die Offenheit von M an, d.h alle Punkte x von M sind innere Punkte. Das bedeutet, ich erhalte für alle x eine ε-Umgebung \(U_{\epsilon}(x)\subseteq \{0\} \), und insbesondere gilt auch \(U_{\epsilon}(0)=\{y\in \mathbb{R}:|y-0|< \epsilon \}\subseteq \{0\} \).

Aber ab hier bin ich einfach blind und habe keine Ahnung, was ich jetzt noch tun soll...

Answer 1

Hallo,

eine Aussage zu beweisen obwohl man sie nicht versteht, scheint mir die falsche Reihenfolge zu sein. Es gilt \(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)=\{0\}\in \mathbb{R}\) (leicht zu beweisen). Einlementige Teilmengen von \(\mathbb{R}\) sind immer abgeschlossen, da (wie in deinem Fall mit \(\{0\}\)) \(\mathbb{R}\backslash \{0\}\) offen ist, d. h. du findest immer eine offene \(\varepsilon\)-Kugel für jeden Punkt \(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\).

Anschaulich bedeutet die Offenheit einer Menge, dass ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind. Das heißt, keines der Elemente der Menge liegt auf dem Rand der Menge, aber das ist bei \(\{0\}\) auf jeden Fall erfüllt (also das ein Element auf dem Rand liegt), denn die Menge besteht ja nur aus einem Punkt und der Rand von \(\{0\}\) ist ja die Null selbst.

Daher war mein Ansatz, das mal mit einem Widerspruchsbeweis zu machen 

Das mit dem Widerspruch ist keine schlechte Idee. Für die Offenheit müsste ja für alle \(x\in \{0\}\) gelten, dass es ein \(\varepsilon >0\) gibt mit \(B_\varepsilon(x):=\{y\in \{0\} : d(x,y)<\varepsilon\}\subset \{0\}\). Bei einelementigen Mengen gilt aber zwingend \(x=y\) und damit egal bzgl. welcher Metrik \(d(x,y)=d(x,x)=d(y,y)=0\). Das steht im Widerspruch dazu, dass ein Epsilon exisitieren kann, dass echt größer als Null ist :P

Comments

P.S.: Hörst du gerade auch Analysis 2? Wenn dich vielleicht ein bisschen austauschen willst, habe ich meine E-Mail auf dem Profil verlinkt :)

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Ja, höre Analysis 2.

Also man kann schon durchaus Aussagen beweisen, selbst wenn man sie nicht komplett durchauschaut hat. Letztlich geht es nur darum, die betrachtete Aussage darauf zu überprüfen, ob sie gewisse Eigenschaften erfüllt oder eben nicht.

Aber du hast Recht: Man kann ja auch die Menge \(\mathbb{R}\setminus \{0\}=]-\infty,0[\cup ]0,\infty[\) betrachten. Da kann ich bereits aus der Definition für Intervalle die Offenheit folgern.

Das steht im Widerspruch dazu, dass ein Epsilon exisitieren kann, dass echt größer als Null ist

Warum weiß man das? Du hast noch nur d(x,x)=d(x,y)=d(y,x)=0 , x=y, was hier erstmal nur eine grundlegende Eigenschaft einer Metrik verifiziert. Aber warum sollte denn jetzt schon klar sein, dass ε>0 hier nicht existieren kann?

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Schau dir die Definition des Epsilonballs B_ε an. Dort heißt es, dass ein ε>0 exisitiere, so dass d(x,y)<ε für x,y in {0}.Wie soll das aber gehen mit x=y? Dann steht da d(x,y)=0<ε>0...

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Dann steht da d(x,y)=0<ε>0...

Ja, es gilt d(x,y)=0<ε. Und das ist doch noch kein Widerspruch, denn ε>0. Das was da steht, erfüllt eher die Annahme.

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Ja, das Problem ist dann aber, dass bei egal welchem \(\varepsilon >0\) nun \(B_\varepsilon(x)\not \subset \{0\}\)

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Das merkt man allein schon dadurch, dass ein Kreis und ein Punkt verschiedene Dimensionan haben.

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Warum? Es gilt x=0 und y=0 (einzige mögliche Element).

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Das merkt man allein schon dadurch, dass ein Kreis und ein Punkt verschiedene Dimensionan haben.

Das muss allgemein KEIN Kreis sein. Man muss das wirklich allgemein betrachten und sich vom Alltagsbegriff der KUGEL/KREIS verabschieden. Mal ein ein Beispiel: Zeichne mal im R^2 eine Kugel bezüglich der diskreten Metrik. Das hat ganz und gar nichts mehr mit einer Kugel in unserem Sinne der Alltagssprache zu tun.

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Stell dir mal eine Zahlengerade vor mit dem Nullpunkt eingezeichnet. Wie willst du da eine Epsilon-Kugel finden, die vollständig in \(\{0\}\) enthalten ist. Das wäre eine Kugel bestehend aus einem Punkt?!

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Das muss allgemein KEIN Kreis sein.

schon klar, in der Maximumsmetrik haben wir z. B. Quadrate.

 Das hat ganz und gar nichts mehr mit einer Kugel in unserem Sinne der Alltagssprache zu tun.

Man spricht immer von einer Epsilonkugel (auch, wenn das nicht immer wie eine Kugel aussehen muss)

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Das Wäre eine Kugel bestehend aus einem Punkt?!

Das ist mir bewusst.

Aber ε>0 kann doch beliebig sein, d.h. ich werde 0 immer überschätzen. y=0 ist halt der einzig mögliche Kandidat für meine Umgebungsmenge U_ε(0). Also hat man d(x,y)=0, was immer überboten wird. Und das ist noch kein Widerspruch, im Sinne der Definition zu der Offenheit einer Menge!

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Also, man kann sagen, dass sogar in jedem Fall die Epsilonkugel \(B_\varepsilon(x)\) exisitiert. Warum gilt aber \(B_\varepsilon(x)\subset \{0\}\) nicht?

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Das gilt schon, weil wir Offenheit angenommen haben.

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Wir suchen doch nach einem Widerspruch. Sei \(\{0\}\) offen (zwecks Widerspruch), so exisitiert für alle \(x\in \{0\}\) ein \(\varepsilon >0\), so dass \(B_\varepsilon (x)\subset \{0\}\).

Überlege dir, warum \(B_\varepsilon (x)\subset \{0\}\) nicht sein kann.

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Dass das nicht sein kann, sehe ich nicht!

Wir sagen, dass {0} offen ist. Also ist jeder Punkt von {0} innerer Punkt, d.h. wir bekommen für alle x aus {0} ein ε>0, sodass wir damit eine ε-Umgebung finden, die noch ganz in {0} enthalten ist (für JEDES x !). Wegen |{0}|=1 kann aber nur x=0 vorkommen, und man hat U_ε(0)={y∈R: d(0,y)<ε}⊆{0}. Das ist erstmal Fakt, da ich nur von der Voraussetzung rede.

Weil ich nun weiß, dass U_ε(0)={y∈R: d(0,y)<ε}⊆{0} gilt, muss y=0∈{0} gelten.

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Das ist erstmal Fakt, da ich nur von der Voraussetzung rede.

Du nimmst also etwas an "Sei {0} offen" und erklärst was das bedeutet (Für alle x in {0} gilt, dass ein ε>0 exisitiert und  B_ε(x) in {0}) liegt) und sagst dann, dass das so stimmt, weil du das vorausgesetzt hast?

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Wenn nicht: Das Argument, dass \(\mathbb{R}\backslash \{0\}\) offen ist, hat dich doch überzeugt, oder nicht? Wenn du dich schon mit Kompaktheit von Mengen oder folgenabgeschlossenen Mengen auskennst, kann ich dir auch noch andere Argumente liefern.

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Du nimmst also etwas an "Sei {0} offen" und erklärst was das bedeutet (Für alle x in {0} gilt, dass ein ε>0 exisitiert und  B_ε(x) in {0}) liegt) und sagst dann, dass das so stimmt, weil du das vorausgesetzt hast?

Ja, denn ich will ein Widerspruch erzeugen.

Wenn nicht: Das Argument, dass R∖{0} offen ist, hat dich doch überzeugt, oder nicht? Wenn du dich schon mit Kompaktheit von Mengen oder folgenabgeschlossenen Mengen auskennst, kann ich dir auch noch andere Argumente liefern.

Von Kompaktheit und folgenabgeschlossenen Mengen habe ich schon gehört. Aber das will ich nicht verwenden, da das für mich sonst der absolute Overkill wird, und ich ja jetzt damit Probleme habe...

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Also bin doch dahinter gekommen. Weil wir uns in R befinden, können wir ε-Umgebungen auch als Intervall schreiben. Dann habe ich also:

\( ]-\varepsilon, \varepsilon[=U_{\varepsilon}(0)\subseteq \{0\} \),

was aber nicht möglich ist, egal wie klein ich mein ε>0 wähle. Damit ist auch 0 kein innerer Punkt von {0}, das bedeutet also, dass {0} nicht offen ist.