Gibt es einen Ordnungsrelation auf einem endlichen Körper

Question

Aufgabe:

Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass es keine Ordnungsrelation auf K gibt, die K zu einem angeordneten Körper machen würde.

Problem/Ansatz:

Die Musterlösung ist ein Beweis durch Widerspruch:

Wir nehmen an, dass es eine Ordnungsrelation ≤ auf K gibt die K zu einem angeordneten Körper macht. Wir schreiben 1 für das Einselement von K, und wissen dass 0 < 1 gilt. Sei n die Anzahl Elemente von K. Wir erhalten die strikte Ungleichungen

0 < 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < · · · < 1 + · · · + 1 = 0

Was einen Widerspruch erzeugt.

Wie kann ich die Ungleichung verstehen? Wie kann man n Elemente, die nicht 0 sind, addieren und 0 erhalten?

Answer 1

Gehe schrittweise vor

0 < 1    | +1

1 < 1 + 1   | +1     #

1 + 1 < 1 + 1 + 1

etc.

Und weil der Körper endlich ist, müssen irgendwann mal

zwei Von diesen Summenreihen gleich sein, etwa

1+1+1+1+1 = 1+1+1

Das heißt aber dann 1+1=0   und # würde dann

ja sagen:    1 < 0   Widerspruch !

Comments

Danke vielmals

Bin mir in dieser Sache aber immernoch etwas unsicher;

dass 2 Summenreihen gleich sein müssen folgt aus den Körperaxiomen?

Wenn ja welche?

Lg