Zeigen Sie, dass ”|“ eine Ordnungsrelation ist, und gibt es eine kleinste und/oder größte natürliche Zahl?

Question

Wir definieren auf der Menge ℕ durch

m | n ⇔ ∃k ∈ ℕ : m · k = n
eine Relation ”|“

a) Zeigen Sie, dass ”|“ eine Ordnungsrelation, d. h. reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

(b) Gibt es eine bzgl. ”|“ kleinste und/oder größte natürliche Zahl?

Ich bitte um Hilfe, ich verstehe nicht ganz wie ich die Aussagen zeigen kann

Answer 1

reflexiv:  zeige, dass  für alle x∈ℕ   gilt   x|x,

d.h. Es muss ein k∈ℕ geben mit x · k = x

Das ist offenbar erfüllt für k=1.

transitiv: zeige, dass für alle x,y,z ∈ℕ  gilt   x|y und y|z ==>  x|z

Also so:    x|y und y|z

==> Es gibt k1 und k2 ∈ℕ mit  x · k1 = y und y · k2 = z

==>                  ( x · k1) · k2 = z

==>                   x · (k1 · k2) = z

und mit k1 und k2 ∈ℕ ist auch k1 · k2  ∈ℕ, also gibt

es ein k ∈ℕ ( nämlich k1 · k2 ) mit   x ·k = z

  ==>     x | z

antisymmetrisch : zeige x|y und y|x ==>   x=y

(so ähnlich wie oben folgt k1*k2=1)

kleinste Zahl ist 1 , weil für jedes x gilt 1|x

größte gibt es nicht.

Comments

Dankeschön :)

Wie kann ich denn beweisen dass es keine größte Zahl gibt ? :)

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Die müsste dann durch alle nat. Zahlen teilbar sein.