Ordnungsrelation ”≤“ antisymmetrisch, wohldefiniert

Question

Aufgabe:

Die Ordnungsrelation ”≤“ auf N wird durch m ≤ n ⇔ ∃k ∈ N: m + k = n definiert.

(a) Zeige, dass die Relation ”≤“ antisymmetrisch ist, d.h. dass für alle m, n ∈ N aus m ≤ n ∧ n ≤ m bereits m = n folgt.

(b) Es seien m, n ∈ N mit m < n, d.h. mit m ≤ n und m ≠ n, gegeben. Zeige, dass dann bereits m + 1 ≤ n.

(c) Es seien m, n ∈ N mit m ≤ n und n ≤ m + 1 gegeben. Zeige, dass dann bereits n = m oder n = m + 1 gilt.

Ich bitte um Hilfe bei allen drei Aufgabenteilen. Danke.

Answer 1

a)   m ≤ n ∧ n ≤ m

<=>  ∃k1 ∈ N: m + k1 = n und ∃k2 ∈ N: n + k2 = m

==>    m + k1  + k2 = m

Da k1, k2 aus N sind bleibt nur k1=k2=0, also folgt aus

m + k1 = n schon m=n.

b)  m ≤ n und m ≠ n

∃k ∈ N: m + k = n   und   m ≠ n

wegen m ≠ n folgt k>0 (hier klassisches >) und mit k ∈ N folgt  k-1 ∈ℕ

also existiert k' (nämlich k-1) mit m+1+k'=n
==>  m + 1 ≤ n.

c) m ≤ n und n ≤ m + 1

==>    ∃k1 ∈ N: m + k1 = n und ∃k2 ∈ N: n + k2 = m+1

==>   (wie bei a)   m + k1 + k2 = m+1

==>                 k1+k2 = 1 , wegen k1,k2 ∈ N also

(k1=0 und k2=1 )      oder  (k1=1 und k2=0)  ==>

 m+0 = n              oder   m+1=n         q.e.d.

Comments

Danke, sehr verständlich :)