Seien n,k∈N n, k \in \mathbb{N} n,k∈N und k≤n. k \leq n . k≤n. Dann definieren wir n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n (Fakultät) und den Binomialkoeffizient
(nk)=n!k!(n−k)! \left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} (nk)=k!(n−k)!n!Benutzen Sie die Tatsache(x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k (x+y)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k} (x+y)n=k=0∑n(nk)xkyn−k
um zu zeigen, dass es ein b∈N b \in \mathbb{N} b∈N gibt, sodass 10n=9⋅b+1 10^{n}=9 \cdot b+1 10n=9⋅b+1.
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