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Seien n,kN n, k \in \mathbb{N} und kn. k \leq n . Dann definieren wir n!=123n n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n (Fakultät) und den Binomialkoeffizient

(nk)=n!k!(nk)! \left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}
Benutzen Sie die Tatsache
(x+y)n=k=0n(nk)xkynk (x+y)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) x^{k} y^{n-k}

um zu zeigen, dass es ein bN b \in \mathbb{N} gibt, sodass 10n=9b+1 10^{n}=9 \cdot b+1 .

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kurze Überlegung, da es schon etwas spät ist:

(9+1)n=k=0n(nk)9k1nk(9+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}9^{k}*1^{n-k}

n=0n=0
(9+1)0=k=00(0k)9010=1 (9+1)^0=\sum_{k=0}^0 \binom{0}{k}9^{0}*1^{0}=1
n0n \neq0
(9+1)n=k=0n(nk)9k1nk=k=0n(nk)9k=1+k=1n(nk)9k=1+9k=1n(nk)9k1 (9+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}9^{k}*1^{n-k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}9^{k}=1+\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}9^{k}=1+9*\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}9^{k-1}
b=k=1n(nk)9k1b=\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}9^{k-1}
bNb \in N
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