Eigenschaften von Abbildungen bestimmen

Question

Hallo,

es geht darum, für jede der Relationen die Eigenschaften zu bestimmen (liegt eine Abbildung vor? Ist diese injektiv, surjektiv oder bijektiv? Oder trifft gar nichts davon zu?). Meine Lösungsansätze schreibe ich hinter die jeweilige Aufgabe. Bitte um Rückmeldung, ob meine Gedankengänge richtig sind und falls nein, bitte eine Erklärung dazu :)

1) A= { 2,3,4,5} und B= {1,3,4,5,6,8} mit den Relationen {[2,3],[3,5],[4,5],[5,8]}    → Es ist eine Abbildung, da jedes x (=-Menge A) verwendet wird. Aber keine Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität, da y (=B) 0x, 1x, oder sogar 2x berührt werden

2)  A={5,6,7,9} und B={2,3,4,5,6,7} mit den Relationen {[5,2],[6,5],[7,4],[9,3]} --> injektive Abbildung, jedes y wird höchstens 1x berührt

3)  A={2,4,6,7,8} und B={3,5,6,8} mit den Relationen {[2,3],[4,5],[6,6],[7,5],[8,8]} -->  surjektive Abbildung, jedes y wird mindestens 1x berührt

4) A={2,7,8,9}  und B={3,4,6,8} mit den Relationen {[2,4],[7,3],[8,6],[9,8]} --> bijektive Abbildung, jedes y wird mind. 1x und höchstens 1x berührt (injektiv + surjektiv treffen zu)

5) A={1,2,7,8}  und B={1,2,4,5,7,9} mit den Relationen {[1,9],[2,1],[8,2]} → Es trifft keine Eigenschaft zu, da es sich um gar keine Abbildung handelt. Nicht alle x werden verwendet.

6)  A={1,4,7,9} und B={1,3,4,5,6,7} mit den Relationen {[1,6],[4,4],[7,5],[7,7],[9,3]} --> Es trifft keine Eigenschaft zu, es ist keine Abbildung, weil von dem x Wert 7 2 Verbindungen ausgehen.

7) Hier: Es sind die Mengen A={3,5,8}  und B={1,3,6,9} gegeben. Es soll die Relation bzgl. a ≥ b bestimmt werden. --> Hier bin ich mir ganz unsicher ehrlich gesagt. Ich hab die Relationen so gebildet: R={[3,3],[3,6],[3,9],[5,6],[5,9],[8,9]}  (also einfach geschaut, wo trifft a ≥ b zu und die dann angegeben. Allerdings kommt mir das irgendwie zu einfach vor).

Answer 1

7) Hier: Es sind die Mengen A={3,5,8}  und B={1,3,6,9} gegeben. Es soll die Relation bzgl. a ≥ b bestimmt werden. → Hier bin ich mir ganz unsicher ehrlich gesagt. Ich hab die Relationen so gebildet: R={[3,3],[3,6],[3,9],[5,6],[5,9],[8,9]}  (also einfach geschaut, wo trifft a ≥ b zu und die dann angegeben. Allerdings kommt mir das irgendwie zu einfach vor).

So wäre es richtig, wenn es \(a\le b\) ("kleiner oder gleich") geheißen hätte.

PS:

6)  A={1,4,7,9} und B={1,3,4,5,6,7} mit den Relationen {[1,6],[4,4],[7,5],[7,7],[9,3]} --> Es trifft keine Eigenschaft zu, es ist keine Abbildung, weil von dem x Wert 7 2 Verbindungen ausgehen.

Das ist richtig. Allerdings würde ich nichts von "x-Werten" schreiben, allenfalls von "A-Werten". Besser noch von dem "Element 7 aus A". Wegen der beiden Paare [7,5] und [7,7] ist die Relation nicht rechtseindeutig, kann also keine Abbildung sein.

(Ich gehe davon aus, dass eine Relation genau dann eine Abbildung ist, wenn sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.)

PPS:

5) A={1,2,7,8}  und B={1,2,4,5,7,9} mit den Relationen {[1,9],[2,1],[8,2]} → Es trifft keine Eigenschaft zu, da es sich um gar keine Abbildung handelt. Nicht alle x werden verwendet.

Richtig, Element 8 aus A kommt auf keiner linken Seite eines Paares der Relation vor, die Relation ist also nicht linksvollständig und ist somit keine Abbildung.

PPPS:

4) A={2,7,8,9}  und B={3,4,6,8} mit den Relationen {[2,4],[7,3],[8,6],[9,8]} --> bijektive Abbildung, jedes y wird mind. 1x und höchstens 1x berührt (injektiv + surjektiv treffen zu)

Das ist richtig.
(+) Allerdings wird die Abbildungseigenschaft nicht begründet. Die Relation ist linksvollständig (jedes a aus A kommt mindestens einmal auf der linken Seite vor) und rechtseindeutig (jedes a aus A kommt höchstens einmal auf der linken Seite vor), daher ist sie eine Abbildung.
(+) Sie ist aber auch linkseindeutig (jedes b aus B kommt höchstens einmal auf der rechten Seite vor) (bei dir: "jedes y wird höchstens 1x berührt"), daher ist sie injektiv.
(+) Sie ist auch rechtsvollständig (jedes b aus B kommt mindestens einmal auf der rechten Seite vor) (bei dir: "jedes y wird höchstens 1x berührt"), daher ist sie surjektiv.
(+) Insgesamt liegt also eine bijektive Abbildung vor.

4PS:

3)  A={2,4,6,7,8} und B={3,5,6,8} mit den Relationen {[2,3],[4,5],[6,6],[7,5],[8,8]} -->  surjektive Abbildung, jedes y wird mindestens 1x berührt

Ist richtig.
(+) Die Relation ist linksvollständig und rechtseindeutig, daher ist sie eine Abbildung.
(+) Sie ist rechtsvollständig, also surjektiv.
(+) Sie enthält [4,5] und [7,5], weswegen sie nicht linkseindeutig, also nicht injektiv ist.
(+) Damit ist sie auch nicht bijektiv.

5PS:

2)  A={5,6,7,9} und B={2,3,4,5,6,7} mit den Relationen {[5,2],[6,5],[7,4],[9,3]} → injektive Abbildung, jedes y wird höchstens 1x berührt

Richtig.
(+) Die Relation ist linksvollständig und rechtseindeutig, also ist sie eine Abbildung.
(+) Da sie auch linkseindeutig ist (jedes b aus B kommt höchstens einmal auf der rechten Seite eines Paares vor), ist sie injektiv. Manchmal wird diese Eigenschaft auch als umkehrbar eindeutig oder eineindeutig bezeichnet.
(+) Weil das Element 7 aus B auf keiner rechten Seite eines Paares vorkommt, ist die Abbildung nicht rechtsvollständig, also nicht surjektiv.

Comments

Oha, danke für den Hinweis!

So wäre es doch dann richtig, oder?

R={[3,1],[3,3],[5,1],[5,3],[8,1],[8,3],[8,6]} 

Kannst du mir vielleicht zu den anderen Aufgaben auch eine Rückmeldung geben? :)

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Ja, so ist es richtig. Ist die Schreibweise [3,1] statt der üblicheren (3,1) für die Paare bereits in der Aufgabe vorgegeben?

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Ja, die Schreibweise ist so vorgegeben.

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Ok. Wenn mir sonst noch was zu den anderen einfällt, ergänze ich meine Antwort oben, damit die Übersicht erhalten bleibt.

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Oki, supi! Vielen Dank!

Bitte mit den Formulierungen ein klein wenig nachsichtig mit mir sein. Dabei hapert es doch ganz schön. Ich freue mich aber auch da über jede Korrektur und schreibe sie mir auf! :)