Trägheitsmoment eines homogenen Würfels

Question

Ich soll das Trägheitsmoment eines homogenen Würfels der Masse M und Kantenlänge a bezüglich einer beliebigen durch den Schwerpunkt gehenden Achse auf mehrere Arten berechnen.

Bei einer Art komme ich mit der Mathematik nicht weiter:

Das Trägheitsmoment direkt aus der Definition berechnen. Also \(\displaystyle\theta=\rho\int\limits_{V}r^2dV\), wobei r der senkrechte Abstand zur Drehachse ist.

Hierfür muss ich eine beliebige Achse mit Richtung \(\displaystyle(n_1,n_2,n_3)\) mit \(\displaystyle n_1^2+n_2^2+n_3^2=1\) betrachten.

Nun brauche ich die Projektion eines beliebigen Punktes des Würfels auf diese Achse und den senkrechten Abstand des Punktes zur Drehachse. Dabei komme ich aber nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst den Richtungsvektor \(\vec r\), der das Volumen des Würfels abtastet, in einen Anteil parallel zum Einheitsvektor \(\vec n\) der Drehachse und einen Anteil senkrecht dazu aufteilen:$$\vec r_\perp=\vec r-\vec r_\parallel=\vec r-\left(\vec r\cdot\vec n\right)\cdot\vec n$$Für das Trägheitsmoment wird das Quadrat benötigt:$$r_\perp^2=(\vec r)^2-2(\vec r\cdot\vec n)^2+(\vec r\cdot\vec n)^2\cdot\vec n^2=r^2-(\vec r\cdot\vec n)^2$$Wenn du jetzt den Mittelpunkt des Würfels in den Ursprung legst, lautet das Integral:

$$\Theta=\rho\int\limits_{-a/2}^{a/2}dx\int\limits_{-a/2}^{a/2}dy\int\limits_{-a/2}^{a/2}dz\left[(1-n_1^2)x^2+(1-n_2^2)y^2+(1-n_3^2)z^2\right]$$$$\phantom{\Theta}-2\rho\int\limits_{-a/2}^{a/2}dx\int\limits_{-a/2}^{a/2}dy\int\limits_{-a/2}^{a/2}dz\left[n_1n_2xy+n_1n_3xz+n_2n_3yz\right]$$Die Freude daran, dieses auszurechnen, möchte ich dir nicht nehmen ;)

Comments

Danke, das hilft mir sehr.