Parameter a richtig zusammenfassen bei Funktionenschar fa(x):= 4/3x^{3}-ax^{2}

Question

ich habe folgendes Problem bei jeglichen Aufgaben der Funktionsscharen.

Und zwar die Parameter.

Beispielsweise bei der Funktion 4/3x^3-ax^2

Beim Extrempunkt bekomme ich für x=0 und x=0,5a heraus. Nun möchte ich das ganze überprüfen und nachweisen ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Dazu nehme ich die zweite Ableitung und setzt den x Wert ein:

8*0,5a-2a=....

Da kommt mein Problem. Wie ziehe ich nun die a zusammen? Ich würde nun 2a^2 rausbekommen. Beim y-Wert für diesen Extrempunkt weiß ich gar nichts. Da habe ich keine Ideen wie ich die a‘s zusammenfassen soll.

Versteht jemand mein Problem und kann mir helfen?

Answer 1

8*0,5a-2a=....

8*0,5a-2a = 4a-2a = 2a

Comments

Und was wäre der y-Wert?

Answer 2

Ich würde nun 2a²

Nein. 4 Äpfel minus 2 Äpfel sind immer noch zwei Äpfel (und nicht zwei Quadratäpfel).

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Und wie würde ich das beim y Wert machen?

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Stures Einsetzen:

(4/3)*(0,5a)³-a*(0,5a)² liefert vor und nach dem Minuszeichen jeweils ein Vielfaches von a³.

Dein Ergebnis hat nach dem Ausklammern von a³ also die Form

(Bruch - Bruch)*a³

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Ich hatte dir schon den Tipp gegeben mal Photomath zum Zusammenfassen der Terme zu nutzen bzw. um deine Lösung zu vergleichen.

Answer 3

f(x) = 4/3·x^3 - a·x^2

f'(x) = 4·x^2 - 2·a·x

f''(x) = 8·x - 2·a

f'''(x) = 8

Extrempunkte f'(x) = 0

4·x^2 - 2·a·x = x·(4·x - 2·a) = 0 --> x = 0 ∨ x = 0.5·a

f''(0) = 8·0 - 2·a = - 2·a → für a > 0 also ein HP

f''(0.5·a) = 8·0.5·a - 2·a = 2·a --> für a > 0 also ein TP

für a > 0 also

f(0) = 4/3·0^3 - a·0^2 = 0 → HP(0 | 0)

f(0.5·a) = 4/3·(0.5·a)^3 - a·(0.5·a)^2 = -1/12·a^3 → TP(0.5·a | -1/12·a^3)