Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der Gleichung (z+2i)6=-8i

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der Gleichung:

(z+2i)⁶=-8i

Problem/Ansatz:

Ich hab jetzt schon verschiedene Ansätze ausbrobiert untern anderem ausmultipilziert, aber irgendwie will es nicht so wirklich...

Answer 1

Hallo,

Substituiere v= z+2i

v⁶ = -8i ; n=6

Nutze dann die Formel:

v_k=|v_1|^ 1/n  * e^(i(φ +2kπ))/n , k=0,1,2,3,4,5)

Resubstiuiere zum Schluss.

Answer 2

Es gilt:

$$-8i = (1+i)^6$$

Also

z+2i=1+i → z=1-i

Außerdem gibt es noch 5 weitere Lösungen. Dabei ist $|z|=\sqrt 2$ und $\varphi_k=\frac{\pi}{4}+k\cdot\frac{\pi}{3}\quad k\in\{0;1;...;5\}$