Komplexe Lösung bestimmen von z²-(4+2i)z-2-8i=0

Question

Ich muss die komplexe Lösung der folgenden Gleichung bestimmen:

\( z^{2}-(4+2 i) z-2-8 i=0 \)

Ich bin gerade so weit:

\( =z^{2}-(4+2 i) z-2-8 i=0 \)
\( =z^{2}-4 z-2 i z-2-8 i=0 \)
\( =z^{2}-4 z-2 i z-2-8 i=0 \)

Ich weiß nicht wie ich hier weiter vorgehen soll? Soll ich \( z=a+b i \) setzten und weiter rechnen oder mache ich was grundliegend falsch?

Answer 1

Hier meine Lösung der Aufgabe:

Comments

Vielleicht sollte man noch erläutern, wie man so einfach auf  5+12i = (3+2i)^2 kommt.

Wurde da nicht der aufwändigere Teil der Lösung mit einer Rechnerumformung  für √( 5+12i)  einfach übergangen?

Answer 2

wie schön, dass man (wie so oft) sein Gehirn ausschalten und auf ein CAS zurückgreifen kann.

Aber ganz so aufwändig ist das dann doch nicht:

$$ c+d i= \sqrt{z} = \sqrt{a+b i} $$

$$ c^2-d^2+2cd i = (c+d i)^2 = z  = a+b i $$

Damit:

$$ c^2-d^2 = a $$

$$ 2cd = b \qquad \circledast$$

Zweite Gleichung nach \( c \) oder \( d \) auflösen und in erste einsetzen liefert recht schnell:

$$ c^2 = { |z|+a \over 2} $$

$$ d^2 = { |z|-a \over 2} $$

Die Vorzeichen von \( c \) und \( d \) bestimmt man am schnellsten durch \( \circledast \), d.h.

gleiche Vorzeichen, wenn \( b > 0 \), ungleiche Vorzeichen, wenn \( b < 0 \),

Grüße,

M.B.

Comments

> Aber ganz so aufwändig ist das dann doch nicht

Du willst mir damit aber doch wohl nicht darin widersprechen, dass das aufwändiger als die simple Anwendung der pq-Formel ist?

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Hallo Wolfgang,

die beiden Formeln für \(c^2\) und \(d^2\) sind leicht zu merken und leicht zu berechnen. Alles andere muss man ja nicht jedesmal von Neuem machen.

Grüße,

M.B.