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Ich muss die komplexe Lösung der folgenden Gleichung bestimmen:

z2(4+2i)z28i=0 z^{2}-(4+2 i) z-2-8 i=0


Ich bin gerade so weit:

=z2(4+2i)z28i=0 =z^{2}-(4+2 i) z-2-8 i=0
=z24z2iz28i=0 =z^{2}-4 z-2 i z-2-8 i=0
=z24z2iz28i=0 =z^{2}-4 z-2 i z-2-8 i=0

Ich weiß nicht wie ich hier weiter vorgehen soll? Soll ich z=a+bi z=a+b i setzten und weiter rechnen oder mache ich was grundliegend falsch?

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Hier meine Lösung der Aufgabe:

Bild Mathematik

Avatar von 121 k 🚀

Vielleicht sollte man noch erläutern, wie man so einfach auf  5+12i = (3+2i)2 kommt.

Wurde da nicht der aufwändigere Teil der Lösung mit einer Rechnerumformung  für √( 5+12i)  einfach übergangen?

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wie schön, dass man (wie so oft) sein Gehirn ausschalten und auf ein CAS zurückgreifen kann.

Aber ganz so aufwändig ist das dann doch nicht:

c+di=z=a+bi c+d i= \sqrt{z} = \sqrt{a+b i}

c2d2+2cdi=(c+di)2=z=a+bi c^2-d^2+2cd i = (c+d i)^2 = z = a+b i

Damit:

c2d2=a c^2-d^2 = a

2cd=b 2cd = b \qquad \circledast

Zweite Gleichung nach c c oder d d auflösen und in erste einsetzen liefert recht schnell:

c2=z+a2 c^2 = { |z|+a \over 2}

d2=za2 d^2 = { |z|-a \over 2}

Die Vorzeichen von c c und d d bestimmt man am schnellsten durch \circledast , d.h.

gleiche Vorzeichen, wenn b>0 b > 0 , ungleiche Vorzeichen, wenn b<0 b < 0 ,

Grüße,

M.B.

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Aber ganz so aufwändig ist das dann doch nicht

Du willst mir damit aber doch wohl nicht darin widersprechen, dass das aufwändiger als die simple Anwendung der pq-Formel ist?

Hallo Wolfgang,

die beiden Formeln für c2c^2 und d2d^2 sind leicht zu merken und leicht zu berechnen. Alles andere muss man ja nicht jedesmal von Neuem machen.

Grüße,

M.B.

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