Aufgabe zur Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:

Das Schaubild einer ganzrationaelnen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. Der Punkt H(1/1) ist der Hochpunkt des Schaubilds. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Wir rechne Ich das ?

Answer 1

Hi,

lese vier Bedingungen aus und stelle ein Gleichungssystem auf:

f(0) = 0   (Ursprung)
f'(0) = 0  (Berührt den Ursprung -> Waagerechte Tangente -> Steigung m = 0)
f(1) = 1   (H)
f'(1) = 0  (H ist Hochpunkt)

Gleichungssystem aufstellen:

d = 0
c = 0
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = 0

Da kann man nun c und d direkt in die dritte und vierte Gleichung einsetzen und lösen:

f(x) = -2x³ + 3x²

Grüße

Answer 2

Ansatz: f(x)=ax3+bx2+cx+d

dann: f '(x)=3ax2+2bx+c

P(0|0) ergibt (1) d=0

f '(0)=0 ergibt (2) c=0

H(1|1) ergibt (3) 10a+b+c+d

f '(1)=0 ergibt (4) 0=3a+2b+3c

Das System (1)(2)(3)(4) verkürzt sich auf

1=a+b

0=3a+2b

Dann ist a= - 2 und b=3

Die ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Gleichung

f(x)= - 2x³+3x² .