Vollständiger Induktions Beweis, Probleme beim Induktionschritt, Bruch erweitern

Question

Aufgabe:

$$ \text { Für alle } n \geq 1 \text { gilt } \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{2+n}{2^{n}} $$

Dies ist per vollständiger Induktion zu beweisen

Problem/Ansatz:

Ich steck beim Induktionsschritt fest, ich muss ja im Induktionschritt für n+1 beweisen

Also hab ich mir mal folgendens überlegt:

$$ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^{k}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}}+\frac{n+1}{2^{n+1}} $$

Jetzt hab in den "n+1"ten Anteil davon an die zweite Formel angehängt also:

$$ 2-\frac{2+n}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}} $$

Jetzt komm ich jedoch nicht weiter weil ich wahrscheinlich den Bruch falsch erweitere und dann immer auf irgendwelche Ergebnisse gekommen bin. Kann mir jemand weiterhelfen?

mfg!! &

Answer 1

$$2-\frac{2+n}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}$$

den linken Bruch kannst du mit \(2\) erweitern.

$$=2-\frac{(2+n)\cdot 2}{2^n\cdot2}+\frac{n+1}{2^{n+1}}\\=2-\frac{(2+n)\cdot 2}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}\\=2+\frac{-2\cdot(2+n)}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}\\=2+\frac{-4-2n+n+1}{2^{n+1}}\\=2+\frac{-3-n}{2^{n+1}}\\=2+\frac{-2-1-n}{2^{n+1}}\\=2-\frac{2+n+1}{2^{n+1}}$$

Gruß

Smitty

Comments

Ah wie ich mir gedacht hab beim Erweitern ist es gescheitert hahaha aus irgendeinen Grund hab ich geglaubt ich muss mit 2^n erweitern aber einfach mit 2 ergibt jetzt wesentlich mehr sinn..

Vielen Dank!!

lg