Summe von vier Brüchen Bestimmen von Infimum und Supremum

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie Infimum und Supremum

$$S:=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$$

Zudem sind:

$${a,b,c,d,}\in\mathbb{R_+}$$

Problem/Ansatz:

Mir ist erschließt sich nicht ganz, wie ich an die Aufgabe herangehen kann.

Comments

Woher der Tag: "Lineare Algebra"?

Sollst du vielleicht mit Matrizen arbeiten?

Die Summanden liegen alle zwischen 0 und 1. Somit müssten Supremum und Infimum endliche reelle Zahlen sein.

Answer 1

Aloha :)

$$S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\quad;\quad a,b,c,d>0$$

Wenn wir die Nenner der Brüche um einen positiven Wert vergrößern, verkleinern wir die Brüche:$$S>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}$$$$\phantom{S}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1$$Wenn wir die Nenner der Brüche um einen positiven Wert verkleinern, vergrößern wir die Brüche:$$S<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}=\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2$$Daher gilt:$$1<S<2$$

Comments

Vielen Lieben Dank :-)

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Beantwortet das die gestellte Frage?

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Hallo Tschaka,

ich weiß nicht was peinlicher ist: dein sinnloses Auswalzen einer Trivialität (die weder in Infimum noch ein Supremum liefert), oder die Weihung derselben als "beste Antwort" durch den Fragesteller.

Warum Trivialität?

Es werden vier Brüche addiert, bei denen Zähler und Nenner positiv sind. Ergo sind alle Brüche positiv, und die Summe ist größer als 0.

Zudem ist bei allen vier Brüchen der Zähler kleiner als der Nenner. Logischerweise sind die Brüche kleiner als 1 und ihre Summe demzufolge kleiner als 4. Man gewinnt also 0<S<4 auch ohne deine Ungleichungsorgie.

Weil diese Abschätzung so trivial ist, habe ich sie in meiner Antwort nicht einmal erwähnt, denn sie ist auch so grob, dass das Infimum wesentlich größer als 0 sein muss und das Supremum wesentlich kleiner als 4 sein muss.

Wenn du wirklich etwas zu gelingen der Aufgabe beitragen will, dann zeige oder widerlege, dass 4/3 (das Ergebnis des Falls a=b=c=d) das Infimum ist.

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PS: Die Vermutung (Infimum 4/3) kann ich mittlerweile selbst widerlegen.

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Aloha Abakus :)

Du hast Recht, ich war mit meiner ersten Abschätzung \(0<S<4\) wohl etwas zu konservativ. Auf Grund deiner Anregung habe ich meine Antwort nochmal überarbeitet und konnte nun zeigen, dass \(1<S<2\) gelten muss.

Ob man das noch weiter einschränken kann, sehe ich gerade nicht. Da muss ich erstmal eine N8 drüber schlafen.

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@abakus

immer wenn ich deine Einwände lese, habe ich das Gefühl, dass du ein wenig herablassend schreibst ("Ich weiß nicht was peinlicher ist [...]"). Ich würde mich freuen, wenn du in Zukunft vielleicht etwas moderater schreibst...

Answer 2

Ich würde testweise mal mit der Version a=b=c=d anfangen, danach erst einen der vier Werte vergrößern/verkleinern...

Versuch macht klug.

Comments

Neue Überlegung: Wenn a sehr viel größer als b und d ist, geht der erste Bruch gegen 1,  während der zweite und vierte Bruch gegen 0 gehen. Der dritte Bruch ist davon nicht betroffen, er kann

- gegen 0 gehen, wenn c sehr viel kleiner als b und d ist

- gegen 1 gehen, wenn c sehr viel größer als b und d ist.

Für sehr große a sind also Summen zwischen 1 und 2 möglich.

Bleibt die Frage: Sind Summen kleiner 1 möglich?

Sind Summen größer 2 möglich?

Answer 3

(1) Es scheint hier niemandem aufzufallen, aber bisher sind zwar untere und obere Schranken angegeben, aber immer noch kein Infimum und Supremum. Was sollen also die vergebenen Punkte und Bewertungen?

(2) Die Symmetrie der Brüche ist doch ganz sicher kein Zufall. Ich habe zwar schon einiges durchgerechnet, komme aber auch nicht viel weiter.

Comments

Nachdem Tschaka jetzt 1<S<2 nachgewiesen hat, lässt sich zeigen, dass 1 das Infimum und 2 das Supremum ist.

Sei b=d=1, a=n und c=1/n.

Dann ist \( \lim\limits_{n\to\infty} S = 1+0+0+0=1 \).

Für a=c=n und b=d=1 gilt hingegen \( \lim\limits_{n\to\infty} S = 1+0+1+0=2 \).

Answer 4

Mit $$ 0 < a \le b \le c \le d $$ ergibt sich die Abschätzung $$ \dfrac{4a}{3d} \le S \le \dfrac{4d}{3a}. $$ Sind damit bereits Infimum und Supremum bestimmt?