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Aufgabe:

Gegeben ist f(x)={1πx2 fu¨2πx<3π41πx fu¨3πx<4πf(x)=\begin{cases}\frac{1}{\pi}x-2 \quad \text{ für } 2\pi\leq x < 3\pi \\ 4-\frac{1}{\pi}x \quad \text{ für } 3\pi \leq x < 4\pi\end{cases}, f : RRf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

und f(x+2π)=f(x)f(x+2\pi)=f(x) für alle xx aus den rellen Zahlen. Wie entwickle ich diese Funktion jetzt in eine Fourierreihe?


Problem/Ansatz:

Die Funktion ist ja eine Dreiecksfunktion, die sich alle 2π2\pi wiederholt. Ich habe also T=2πT=2\pi

ak=1πππf(x)cos(kx)dxa_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot \cos(k\cdot x)dx , k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,\dots

bk=1πππf(x)sin(kx)dxb_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot \sin(k\cdot x) dx, k=1,2,3,k=1,2,3,\dots

und

Fn(x)=a02+k=1n(akcos(kx)+bksin(kx))F_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(a_k\cos(k\cdot x)+b_k\cdot \sin(k\cdot x)\right) ist dann das Taylorpolynom und die Taylorreihe

F(x)=a02+k=1(akcos(kx)+bksin(kx))F_\infty(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos(k\cdot x)+b_k\cdot \sin(k\cdot x))


Da die Funktion periodisch ist, habe ich die Integralgrenzen auf 2π2\pi bis 4π4\pi verschoben. (Ist das legitim?) Danach habe ich die Integrale für die a_ks und b_ks ausgerechnet, mit kk variabel. Außer bei a_0, dort habe ich eine extra Fallunterscheidung gemacht, weil wir nicht durch Null teilen dürfen.

ak=1π(2π3π1πx2cos(kx)dx+3π4π41πxcos(kx)dx)a_k=\frac{1}{\pi}\left(\displaystyle\int\limits_{2\pi}^{3\pi}\frac{1}{\pi}x-2\cdot \cos(kx)dx+\int\limits_{3\pi}^{4\pi}4-\frac{1}{\pi}x\cdot \cos(kx)dx\right)

ak=2sin(2πk)+sin(3πk)4sin(4πk)πk+132a_k=\dfrac{2\sin(2\pi k)+\sin(3\pi k)-4\sin(4\pi k)}{\pi k}+\dfrac{13}{2} für k>0k>0

a0=1a_0=1

(Das sind die finalen Werte der aka_k, ich habe hier die ganzen Integralrechnungen ausgelassen, weil das sonst ewig dauert zum Abtippen.)

b_k ist analog dann auch aufgeteilt wie a_k, nur dass dann natürlich die andere Funktion im Integral steht * sin. Das habe ich dann auch ausgerechnet und bekomme

bk=sin(3πk)sin(4πk)π2k2+2cos(2πk)cos(3πk)+4cos(4πk)πk+132b_k=\dfrac{\sin(3\pi k)-\sin(4\pi k)}{\pi^2k^2}+\dfrac{-2\cos(2\pi k)-\cos(3\pi k)+4\cos(4\pi k)}{\pi k}+\dfrac{13}{2}

und demnach ist das Taylorpolynom:

Fn(x)=12+n=1n(akcos(kx)+bksin(kx))dxF_n(x)=\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{n}(a_k\cdot \cos(kx)+b_k\cdot \sin(kx))dx

und die Reihe

F(x)=12+n=1(akcos(kx)+bksin(kx))dxF_\infty(x)=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_k\cdot \cos(kx)+b_k\cdot \sin(kx))dx,

aber das sind leider sehr komische Werte und ich denke mal, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Könnt ihr mir sagen wo und wie es richtig aussehen würde?

Avatar von 2,1 k

Weil die Funktion 2π-periodisch ist, kannst du doch erst mal die Definition in den üblichen Bereich übersetzen und dann "normal" rechnen.

Was meinst du genau mit "in den normalen Bereich übersetzen"? Dass ich die Funktion im Bereich π-\pi bis π\pi definiere? Das wäre dann f(x)={1πx2πx<041πx0x<πf(x)=\begin{cases}\frac{1}{\pi}x-2 \quad -\pi \leq x <0\\ 4-\frac{1}{\pi}x \quad 0\leq x <\pi \end{cases}

Ja. Genau. Ich hätte jetzt so angefangen.

Müsste die Fourierreihe hierfür nicht automatisch auch für f passen?

@Dreiecksfunktion

Wie meinst du das? Bei x = 0, x=π, x= 3π usw. springt sie von 2 auf 4.

Als ich mir eine Skizze von der Funktion gemacht hatte, sah die so aus:

geogebra-export (2).png

Deswegen nannte ich sie Dreiecksfunktion xD

Ups. Stimmt. Man muss bei der Anpassung an das Intervall (-pi,pi) die "Zackenhöhe" verwenden. Nicht einfach 2 und 4.

Hast du die "Zackenhöhe"?

Wohl

f(x) := x/π + 1 für x in (-pi, 0)

und

f(x):= 1 - x/π für x in (0,pi)

Sollten aus Symmetriegründen nicht alle bk = 0 sein?

Ja genau, die bkb_k müssten 0 sein, ist mir auch erst nach dem Verfassen der Nachricht aufgefallen.

Gut. a0 könnte stimmen. Dann "einfach" noch die andern ak ausrechnen.

Ne, leider stimmen die nicht. Hatte die Klammern um f(x)f(x) vergessen. Aber jetzt habe ich den Fehler gefunden!

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