Aufgabe:
Gegeben ist f(x)={π1x−2 fu¨r 2π≤x<3π4−π1x fu¨r 3π≤x<4π, f : R→R
und f(x+2π)=f(x) für alle x aus den rellen Zahlen. Wie entwickle ich diese Funktion jetzt in eine Fourierreihe?
Problem/Ansatz:
Die Funktion ist ja eine Dreiecksfunktion, die sich alle 2π wiederholt. Ich habe also T=2π
ak=π1∫−ππf(x)⋅cos(k⋅x)dx, k=0,1,2,3,…
bk=π1∫−ππf(x)⋅sin(k⋅x)dx, k=1,2,3,…
und
Fn(x)=2a0+k=1∑n(akcos(k⋅x)+bk⋅sin(k⋅x)) ist dann das Taylorpolynom und die Taylorreihe
F∞(x)=2a0+k=1∑∞(akcos(k⋅x)+bk⋅sin(k⋅x))
Da die Funktion periodisch ist, habe ich die Integralgrenzen auf 2π bis 4π verschoben. (Ist das legitim?) Danach habe ich die Integrale für die a_ks und b_ks ausgerechnet, mit k variabel. Außer bei a_0, dort habe ich eine extra Fallunterscheidung gemacht, weil wir nicht durch Null teilen dürfen.
ak=π1⎝⎛2π∫3ππ1x−2⋅cos(kx)dx+3π∫4π4−π1x⋅cos(kx)dx⎠⎞
ak=πk2sin(2πk)+sin(3πk)−4sin(4πk)+213 für k>0
a0=1
(Das sind die finalen Werte der ak, ich habe hier die ganzen Integralrechnungen ausgelassen, weil das sonst ewig dauert zum Abtippen.)
b_k ist analog dann auch aufgeteilt wie a_k, nur dass dann natürlich die andere Funktion im Integral steht * sin. Das habe ich dann auch ausgerechnet und bekomme
bk=π2k2sin(3πk)−sin(4πk)+πk−2cos(2πk)−cos(3πk)+4cos(4πk)+213
und demnach ist das Taylorpolynom:
Fn(x)=21+n=1∑n(ak⋅cos(kx)+bk⋅sin(kx))dx
und die Reihe
F∞(x)=21+n=1∑∞(ak⋅cos(kx)+bk⋅sin(kx))dx,
aber das sind leider sehr komische Werte und ich denke mal, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Könnt ihr mir sagen wo und wie es richtig aussehen würde?