Aufgabe:
Gegeben ist \(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\pi}x-2 \quad \text{ für } 2\pi\leq x < 3\pi \\ 4-\frac{1}{\pi}x \quad \text{ für } 3\pi \leq x < 4\pi\end{cases}\), \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
und \(f(x+2\pi)=f(x)\) für alle \(x\) aus den rellen Zahlen. Wie entwickle ich diese Funktion jetzt in eine Fourierreihe?
Problem/Ansatz:
Die Funktion ist ja eine Dreiecksfunktion, die sich alle \(2\pi\) wiederholt. Ich habe also \(T=2\pi\)
\(a_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot \cos(k\cdot x)dx \), \(k=0,1,2,3,\dots\)
\(b_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot \sin(k\cdot x) dx\), \(k=1,2,3,\dots\)
und
\(F_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(a_k\cos(k\cdot x)+b_k\cdot \sin(k\cdot x)\right)\) ist dann das Taylorpolynom und die Taylorreihe
\(F_\infty(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos(k\cdot x)+b_k\cdot \sin(k\cdot x))\)
Da die Funktion periodisch ist, habe ich die Integralgrenzen auf \(2\pi\) bis \(4\pi\) verschoben. (Ist das legitim?) Danach habe ich die Integrale für die a_ks und b_ks ausgerechnet, mit \(k\) variabel. Außer bei a_0, dort habe ich eine extra Fallunterscheidung gemacht, weil wir nicht durch Null teilen dürfen.
\(a_k=\frac{1}{\pi}\left(\displaystyle\int\limits_{2\pi}^{3\pi}\frac{1}{\pi}x-2\cdot \cos(kx)dx+\int\limits_{3\pi}^{4\pi}4-\frac{1}{\pi}x\cdot \cos(kx)dx\right)\)
\(a_k=\dfrac{2\sin(2\pi k)+\sin(3\pi k)-4\sin(4\pi k)}{\pi k}+\dfrac{13}{2}\) für \(k>0\)
\(a_0=1\)
(Das sind die finalen Werte der \(a_k\), ich habe hier die ganzen Integralrechnungen ausgelassen, weil das sonst ewig dauert zum Abtippen.)
b_k ist analog dann auch aufgeteilt wie a_k, nur dass dann natürlich die andere Funktion im Integral steht * sin. Das habe ich dann auch ausgerechnet und bekomme
\(b_k=\dfrac{\sin(3\pi k)-\sin(4\pi k)}{\pi^2k^2}+\dfrac{-2\cos(2\pi k)-\cos(3\pi k)+4\cos(4\pi k)}{\pi k}+\dfrac{13}{2}\)
und demnach ist das Taylorpolynom:
\(F_n(x)=\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{n}(a_k\cdot \cos(kx)+b_k\cdot \sin(kx))dx\)
und die Reihe
\(F_\infty(x)=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_k\cdot \cos(kx)+b_k\cdot \sin(kx))dx\),
aber das sind leider sehr komische Werte und ich denke mal, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Könnt ihr mir sagen wo und wie es richtig aussehen würde?
