Steckbrief Aufgaben / ganzrationale Funktion 4. Grades

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 4. Grades:

Im Ursprung einen Wendepunkt mit horizontale Tangente

Horizontale Tangente bei x=6

f hat einen weiteren Schnittpunkt mit der X-Achse, dort ist die Steigung m=-8

Comments

Bitte am Zeilenbeginn kurze Minus vermeiden. Denn meinst du nun z.B. -f oder f ?

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Vielen Dank für den Tipp @Lu ist mir beim verfassen gar nicht in den Sinn gekommen. "f" ist gemeint.

Answer 1

$$  f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

$$  f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$

$$  f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$

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$$ f(x)=0; f'(x)=0; f''(x)=0\Rightarrow c=d=e=0 $$

---------------------------------

$$  f(x)=ax^4+bx^3$$

$$  f'(x)=4ax^3+3bx^2$$

$$  f''(x)=12ax^2+6bx$$

$$f'(6)=0 \Rightarrow 4a\cdot 6^3+3b\cdot 6^2=0 \Rightarrow b=-8a$$

$$  f(x)=ax^4-8ax^3$$

$$  f'(x)=4ax^3-24ax^2$$

$$ f(x_1)=0=ax_1^4-8ax_1^3 =ax_1^3(x_1-8) \Rightarrow x_1=8$$

$$f'(x_1)=-8 =4a\cdot8^3-24a\cdot 8^2$$

$$-8 =2048a-1536a$$

$$-8=512a \Rightarrow a=-\frac{1}{64} \Rightarrow b=\frac{1}{8}$$

$$ f(x)= -\frac{1}{64}x^4+\frac{1}{8}x^3$$

https://www.desmos.com/calculator/rugviitjem

Answer 2

Im Ursprung einen Wendepunkt mit horizontale Tangente: 

Ansatz: f(x) = a x^3 (x-b)

Horizontale Tangente bei x=6

f ' (6) = 0

f hat einen weiteren Schnittpunkt mit der X-Achse, dort ist die Steigung m=-8

f ' (b) = -8

Nun alles geschickt verrechnen und kombinieren.