Kern, Bild bestimmen ohne Abildungsvorschrift

Question

Gegeben sei der Vektorraum
W: \( \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} \) mit der Basis B={ \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) }

Sei L_B = \( \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) die darstellende Matrix einer linearen Abbildung \( L: W \rightarrow W \) bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \).

(a) Bestimmen Sie den Kern von \( L_{\mathcal{B}} \) und den Kern von \( L \).
(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\mathrm{Bild}(L)) \)

 Meine Überlegungen da L:W->W, könnte man halt Kern(W) bestimmen und genauso Bild(W) bestimmen, aber es ist ja nicht garantiert dass L: \( \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} \) -> \( \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} \) so aussieht. Mit L_B bekommt man L(\( \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \))=\( \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) und L(\( \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \))=\( \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix} \)  Mich verwirrt, dass es keine Abbildungsvorschrift für L gibt.

Könnte mir jemand bei dem Kern(L) und dem Bild(L) helfen? Vielen Dank

Answer 1

Wenn B1 und B2 die beiden Matrizen aus der Basis B sind, dann

gibt ja die Matrix L_B an, dass das Bild des 1. Basisvektors durch die erste

Spalte von L_B beschrieben wird, also

L(B1) = 1*B1 + 0*B2  = B1   und entsprechend L(B2)=2*B1 + 0*B2 = 2B1  #

Wenn du eine Abbildungsvorschrift haben willst, dann muss du also

$$ X = \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} $$

 mit der Basis B={ \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) }

darstellen , also X = (a-b)*B1 + b*B2

und hast dann mit #  L(X) =  (a-b)*L(B1) + b*L(B2) =   (a-b)*B1 + b*2*B1 = (a+b)*B1

Und X ist aus dem Kern, wenn (a+b)*B1 die Nullmatrix ist, also a+b=0 , also a =-b

und damit sind im Kern von L alle Matrizen der Form

$$ X = \begin{pmatrix} -b & b \\ -b & b \end{pmatrix}= b*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$

und der ist also 1-dimensional.

Und mit L(X) = (a+b)*B1 hast du mit B1 eine Basis des Bildes.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, ich verstehe sie nur nicht ganz, wenn

 L(X) =  (a-b)*L(B1) + b*L(B2) =  (a-b)*B1 + b*2*B1 = (a+b)*B1

Das heißt das Bild sieht so aus \( \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ a+b & 0 \end{pmatrix} \)

Dann ist doch der Kern

\( \begin{pmatrix} -b & 0 \\ -b & 0 \end{pmatrix} \)

Oder sehe ich da gerade was falsch? Danke

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Und wir sollen den Kern so darstellen

\( \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ a+b & 0 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} v1\\v2\\ \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0x\\0\\ \end{pmatrix} \)

daraus folgt I av1+bv1=0 und II av2+bv2=0 und da komme ich nicht so richtig weiter..

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Das heißt das Bild sieht so aus \( \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ a+b & 0 \end{pmatrix} \)

Dann ist doch der Kern\( \begin{pmatrix} -b & 0 \\ -b & 0 \end{pmatrix} \)

Oder sehe ich da gerade was falsch?  Ja ,  Im Kern sind diejenigen

Matrizen X , für die L(X) = 0 .

Alle deine Matrizen sind von der Art

$$ X = \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} $$

Also ist immer L(X) = \( \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ a+b & 0 \end{pmatrix} \)

Damit das die Nullmatrix ist, muss gelten a+b=0 bzw  a=-b , also muss das X so auusehen

$$ X = \begin{pmatrix} -b & b \\ -b & b \end{pmatrix} $$    oder eben

$$ X = b*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$