In welchem Verhältnis teilt Gerade bestimmte Fläche?

Question

Aufgabe:

Funktion f(x)=√(4-x)

a) Welchen Inhalt hat die Fläche, die von Graph f und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird?

b) In welchem Verhältnis teilt die Gerade y=1/3*x dieses Flächenstück?

Problem/Ansatz:

a) Konnte ich lösen, man muss einfach das Integral über f(x) von der unteren Grenze a=0 bis zur obere Grenze b=4 bestimmen. Da bekommt man eine Fläche von 5,3 [FE] raus.

b) Ich verstehe kein Stück was man genau machen soll.

MfG Chiara

Answer 1

Sieht ja so aus:

~plot~ sqrt(4-x);x/3 ~plot~

Das untere Stück ist ein Dreieck mit Flächeninhalt 1,5

und das Integral von3 bis 4 über die Wurzelfunktion.

Diese beiden Teile addieren gibt wohl

1,5 + 2/3 = 13/6

also der andere Teil 16/3 - 13/6 = 19/6

also Verhältnis  13 : 19.

Answer 2

Deine Lösung für a) ist richtig.

Für b) setzt Du halt die beiden Flächeninhalte in Relation. Das geht auch mit Integrieren, und zu diesem Zweck würde ich zuerst den Schnittpunkt der beiden Funktion, insbesondere dessen x-Koordinate, ausrechnen indem man die beiden Funktionen gleichsetzt, da sie am Schnittpunkt auch dieselbe y-Koordinate haben.

Comments

Zur Klarstellung:

Der untere Flächenteil ist Dreieck (A= 1,5) plus Integral der Wurzelfunktion von 3 bis 4, der obere Flächenteil ist Integral von (Wurzelfunktion minus lineare Funktion) von 0 bis 3.

Answer 3

Fläche linker Teil
∫ √(4-x) dx zwischen 0 und 3 = 14 / 3
minus Dreieck 3 * 1 / 2 = 1.5
14/3 minus 3/2 = ( 28 - 9 ) / 6 = 19 / 6

Fläche rechter Teil
∫ √(4-x) dx zwischen 3 und 4 = 2/3
plus ( Dreieck ) 1.5 = 2/3 + 3/2 = ( 4 + 9 ) / 6 = 13 / 6

Verhältnis : 19 / 13